Цифры числа

Чтобы перевести условие о цифрах в уравнение, запишите число через разряды: $\overline{ab} = 10a + b$, $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Первая цифра — от 1 до 9, остальные — от 0 до 9. Эти границы — часть условия: без них уравнение имеет лишние решения.

Если из $\overline{abc}$ вычеркнуть цифру, остальные цифры сдвигаются в младшие разряды: $\overline{bc} = 10b + c$, $\overline{ac} = 10a + c$, $\overline{ab} = 10a + b$. Запишите исходное и новое число через цифры и сравните их. Если после вычёркивания первой цифры число должно остаться двузначным, вторая цифра не равна 0.

Обозначим сумму цифр числа $A$ через $S(A)$. Сложите $A$ и $B$ в столбик. Без переносов сумма цифр результата равна сумме цифр слагаемых: $S(A + B) = S(A) + S(B)$. Каждый перенос заменяет 10 единиц разряда одной единицей следующего разряда, и сумма цифр уменьшается на 9: $S(A + B) = S(A) + S(B) - 9t$, где $t$ — число переносов.

Если $A + B$ оканчивается на 9, переноса из разряда единиц нет: две цифры дают в сумме 9 или 19, а 19 больше 18. Тогда в следующий разряд ничего не переходит, и тот же довод работает для каждой следующей девятки.

Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9 (сумма цифр и остаток), поэтому их разность делится на 9. Расставьте такие числа по возрастанию: каждое следующее больше предыдущего хотя бы на 9. Значит, $k$ различных чисел с равной суммой цифр в сумме дают не меньше $kx_1 + 9(1 + 2 + \ldots + (k - 1))$, где $x_1$ — наименьшее (сумма прогрессии).