Числовые наборы и средние

Если среднее $n$ чисел равно $\bar x$, их сумма $S = n\bar x$. С суммой работают дальше: её делят на части и оценивают. Если каждое число не больше $b$, то $S \le nb$. Если каждое число не меньше $a$, то $S \ge na$.

Среднее — целое число тогда и только тогда, когда $S$ делится на $n$.

Уберите из набора с суммой $S$ и средним $\bar x$ число $a$. Новое среднее $\frac{S - a}{n - 1}$ больше $\bar x$, если $a < \bar x$, и меньше, если $a > \bar x$. С добавленным числом наоборот: среднее растёт, если $a > \bar x$.

Если число заменили другим, сумма изменилась на их разность, а среднее — на эту разность, делённую на $n$. Пока все числа остаются на доске, уменьшение чисел не увеличивает среднее. Среднее растёт, только если с доски уходят числа меньше среднего.

Если набор разбит на две группы — положительные и отрицательные числа, две школы, две кучки, — сумма набора равна сумме сумм групп: $S = n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2$. Общее среднее $\frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2}{n_1 + n_2}$ лежит между $\bar x_1$ и $\bar x_2$ и ближе к среднему большей группы. Если одно число переходит из первой группы во вторую, сумма первой группы уменьшается на это число, а сумма второй на него увеличивается: новые средние считают по новым суммам и количествам.

Полусумма средних $\frac{\bar x_1 + \bar x_2}{2}$ равна общему среднему, только если в группах поровну чисел или средние групп равны: разность этих величин пропорциональна $(n_1 - n_2)(\bar x_1 - \bar x_2)$.

Пусть среднее любых $k$ чисел набора — целое, а чисел в наборе больше $k$. Возьмите $k - 1$ чисел и добавьте к ним сначала $a$, потом $b$. Обе суммы делятся на $k$, поэтому их разность $a - b$ тоже делится на $k$. Значит, все числа набора дают одинаковые остатки при делении на $k$ (одинаковые остатки).

Если условие дано для нескольких $k$, разность делится на каждое из них, то есть на их наименьшее общее кратное: для 3, 4, 5 и 6 это 60, для 4 и 7 — 28. Обратное тоже верно: если все числа дают при делении на $k$ один остаток $r$, сумма любых $k$ из них даёт тот же остаток, что $kr$, и делится на $k$.

Когда с доски стирают часть чисел, обозначьте количество стёртых чисел буквой и запишите сумму оставшихся двумя способами: через исходную сумму и через новое среднее. Получится уравнение на количество. Количество — целое число от 0 до $n$: если у уравнения нет корня в этих границах, набора с таким средним нет (уравнение без целых решений). Наибольшее или наименьшее новое среднее находят оценкой через количество.

Если числа меняют по правилу, найдите обратный ход. Из пары $(a; b)$ ход даёт $(a + b; a - b)$. Обратно: пара $(c; d)$ получается только из $\left(\frac{c + d}{2}; \frac{c - d}{2}\right)$, и только если $c$ и $d$ одной чётности (чётность). У каждой пары не больше одной предыдущей, поэтому все пары, из которых получается данная, — это цепочка ходов назад.