тема 11 из 12

Квадратные уравнения

Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ при $a \ne 0$ решают через дискриминант. Неполные уравнения решают быстрее: выносят $x$ за скобку или выражают $x^2$ . Если один корень известен, второй находят по теореме Виета без дискриминанта: так находят вторую точку пересечения графиков.

Основа для заданий11 12 19Часто в задании17Реже в заданиях7 10 14На карте навыков

Квадратные уравнения
—В аналитике

Как решить квадратное уравнение

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \ne 0$ .

Приведите уравнение к этому виду: раскройте скобки, перенесите все слагаемые в левую часть, справа оставьте ноль.
Найдите корни через дискриминант.
Если $c = 0$ , вынесите $x$ за скобку. Если $b = 0$ , выразите $x^2$ .

Корни через дискриминант

Сначала найдите дискриминант $D = b^2 - 4ac$ . Если $D > 0$ , корней два: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Если $D = 0$ , корень один: $x = -\frac{b}{2a}$ . Если $D < 0$ , корней нет.

Пример

$x^2 - 4x - 5 = 0$

1. $a = 1$ , $b = -4$ , $c = -5$ .
2. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$ , $\sqrt{D} = 6$ .
3. $x = \frac{-(-4) \pm 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$ : $x_1 = 5$ , $x_2 = -1$ .

Ответ: $-1$ и $5$

Корни на графике

x^2 + 3x - 4 = 0

Двигайте ползунки или перетащите корень вдоль оси Ox.

a

1

b

3

c

-4

D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-4\right) = 25 > 0

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2}

x_1 = -4, \quad x_2 = 1

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -4

x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)

Корни уравнения

ax^2 + bx + c = 0

— абсциссы точек, где парабола

y = ax^2 + bx + c

пересекает ось Ox. Двигайте ползунки: знак

D

показывает, сколько таких точек. Перетащите корень вдоль оси:

b

c

пересчитаются по теореме Виета.

Нет свободного члена: вынесите x

Уравнение $ax^2 + bx = 0$ раскладывают на множители: $x(ax + b) = 0$ . Один корень всегда $0$ , второй — корень уравнения $ax + b = 0$ .

Пример

$x^2 - 6x = 0$

1. $x(x - 6) = 0$ .
2. $x = 0$ или $x = 6$ .

Ответ: $0$ и $6$

Нет слагаемого с x: квадрат равен числу

Уравнение $ax^2 + c = 0$ приводят к виду $x^2 = -\frac{c}{a}$ . Если число справа положительно, корней два, и они противоположны.

Пример

$2x^2 - 18 = 0$

1. $x^2 = 9$ .
2. $x = 3$ или $x = -3$ .

Ответ: $\pm 3$

Один корень известен

По теореме Виета $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ . Если один корень известен, второй находят из произведения: $x_2 = \frac{c}{a \cdot x_1}$ . Сумма корней даёт проверку.

Пример

Один корень уравнения $5x^2 + 14x - 3 = 0$ равен $-3$ . Найдите второй корень.

1. $x_2 = \frac{-3}{5 \cdot (-3)} = 0{,}2$ .
2.Проверка суммой: $-3 + 0{,}2 = -2{,}8 = -\frac{14}{5}$ .

Ответ: $0{,}2$

Подбор корней

Если $a + b + c = 0$ , то $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$ . Если $a = 1$ , корни часто подбирают по теореме Виета: их сумма равна $-b$ , а произведение равно $c$ .

Пример

$x^2 - 7x + 10 = 0$

1.Сумма корней 7, произведение 10.
2.Это числа $2$ и $5$ : $2 + 5 = 7$ , $2 \cdot 5 = 10$ .

Ответ: $2$ и $5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать