Непрерывные распределения

Величина равномерно распределена на отрезке $[a;\, b]$, если все её значения одинаково возможны. Плотность на отрезке постоянна: $f(x) = \frac{1}{b - a}$, вне отрезка она равна 0. Площадь — прямоугольник, поэтому для $[c;\, d]$ внутри $[a;\, b]$ $P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}$: доля длины.

Ожидание — середина отрезка: $E(X) = \frac{a + b}{2}$. Дисперсия: $D(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$.

По показательному закону распределено время ожидания события, которое может наступить в любой момент: отказа прибора, звонка, распада атома. Плотность $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ при $x \ge 0$ и $f(x) = 0$ при $x < 0$, где $\lambda > 0$.

Вероятность прождать дольше $t$: $P(X > t) = e^{-\lambda t}$. Ожидание $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, дисперсия $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$. Чем больше $\lambda$, тем короче среднее время.

Приближённо нормально распределены величины, на которые влияет много мелких случайных причин: рост, масса, ошибка измерения. Плотность $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$. График — колокол, симметричный относительно $x = \mu$. Здесь $\mu = E(X)$, а $\sigma$ — стандартное отклонение, $D(X) = \sigma^2$.

По симметрии $P(X < \mu) = P(X > \mu) = 0{,}5$ и $P(X > \mu + t) = P(X < \mu - t)$ для любого $t > 0$. Правило трёх сигм: в интервал $\mu \pm \sigma$ попадает около $0{,}68$ всех значений, в $\mu \pm 2\sigma$ — около $0{,}95$, в $\mu \pm 3\sigma$ — около $0{,}997$.