тема 7 из 8

Биномиальное распределение

Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет биномиальное распределение. Его математическое ожидание равно $np$ , а дисперсия равна $npq$ , где $q = 1 - p$ . Таблицу распределения для этого строить не нужно.

Часто в задании6На карте навыков

Биномиальное распределение
—В аналитике

Число успехов в серии испытаний

Проводят $n$ независимых одинаковых испытаний. В каждом успех наступает с вероятностью $p$ , неудача — с вероятностью $q = 1 - p$ . Число успехов $X$ принимает значения $0, 1, \ldots, n$ с вероятностями $P(X = k) = C_n^k p^k q^{n - k}$ (формула Бернулли).

Успех — то событие, число которых спрашивают: покупка, брак, продажа, попадание.
Найдите $n$ — число испытаний — и $p$ — вероятность успеха в одном испытании.
Математическое ожидание: $E(X) = np$ .
Дисперсия: $D(X) = npq$ . Стандартное отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{npq}$ .

Откуда np и npq

Число успехов — сумма $X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$ , где $X_i = 1$ при успехе в $i$ -м испытании и $X_i = 0$ при неудаче. У одного слагаемого $E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$ и $D(X_i) = E(X_i^2) - p^2 = p - p^2 = pq$ (дисперсия через квадраты).

Ожидание суммы — сумма ожиданий, поэтому $E(X) = np$ . Испытания независимы, поэтому дисперсии тоже складываются: $D(X) = npq$ .

Пример

Монету бросают 3 раза. Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Найдите $E(X)$ и $D(X)$ по закону распределения и сравните с $np$ и $npq$ .

1. $n = 3$ , $p = q = 0{,}5$ . По формуле Бернулли $P(X = 0) = \frac{1}{8}$ , $P(X = 1) = \frac{3}{8}$ , $P(X = 2) = \frac{3}{8}$ , $P(X = 3) = \frac{1}{8}$ .
2. $E(X) = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = 1{,}5$ , и $np = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ .
3. $E(X^2) = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = 3$ , $D(X) = 3 - 1{,}5^2 = 0{,}75$ .
4. $npq = 3 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75$ . Формулы дают то же без таблицы.

Ответ: $E(X) = 1{,}5$ , $D(X) = 0{,}75$

Среднее число успехов: np

Сколько в среднем успехов в

20

испытаниях, если вероятность успеха

0{,}3

высота — вероятность ровно

k

успеховсреднее

np

разброс

np \pm \sqrt{npq}

Испытаний

n

20

Вероятность успеха

p

0{,}3

E(X) = np = 20 \cdot 0{,}3 = 6

D(X) = npq = 20 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 4{,}2

\sigma(X) = \sqrt{npq} = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05

В среднем

6

успехов: пунктир стоит рядом с самыми высокими столбиками.

Столбики показывают, как часто бывает

0, 1, 2, \ldots

успехов в серии испытаний. Двигайте ползунки: пунктир

np

всегда стоит рядом с самыми высокими столбиками.

Ожидание числа успехов: np

Умножьте число испытаний на вероятность успеха: $E(X) = np$ . Ожидание — среднее число успехов за много таких серий, поэтому оно может быть дробным: при $n = 25$ и $p = 0{,}3$ это $7{,}5$ .

Успехом называют то, что считают, даже если это плохое событие. Если спрашивают о неудачах, возьмите вероятность неудачи: среднее число неудач равно $nq$ .

Пример

Стрелок делает 40 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,85, выстрелы независимы. Найдите математическое ожидание числа промахов.

1.Считают промахи, поэтому успех — промах: $p = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$ .
2. $E(X) = np = 40 \cdot 0{,}15 = 6$ .

Ответ: $6$

Дисперсия числа успехов: npq

Перемножьте три числа: $D(X) = npq$ , где $q = 1 - p$ . Без множителя $q$ получится ожидание $np$ , а не дисперсия. Дисперсия наибольшая при $p = 0{,}5$ : тогда $pq = 0{,}25$ .

Если спрашивают стандартное отклонение, извлеките корень: $\sigma(X) = \sqrt{npq}$ .

Пример задания

Репет

Это задание доступно на тарифе «Подготовка».

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать