тема 5 из 8

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия $D(X)$ показывает, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг её математического ожидания. Это среднее значение квадрата отклонения от $E(X)$ . Корень из дисперсии — стандартное отклонение $\sigma$ : оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Часто в задании6На карте навыков

Дисперсия и отклонение
—В аналитике

Среднее квадрата отклонения

$D(X) = E\left((X - E(X))^2\right)$ . Для ряда распределения: $D(X) = (x_1 - E)^2 p_1 + (x_2 - E)^2 p_2 + \ldots + (x_n - E)^2 p_n$ , где $E = E(X)$ .

Найдите математическое ожидание $E(X)$ .
Для каждого значения найдите отклонение $x_i - E(X)$ и возведите его в квадрат.
Умножьте квадраты на вероятности и сложите. Если $E(X)$ — дробное число, короче $D(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .
Проверьте: дисперсия не бывает отрицательной.
Дисперсию величины $aX + b$ находят по свойствам дисперсии.

Дисперсия по определению

Отклонение — разность между значением и математическим ожиданием: $x_i - E(X)$ . Отклонения бывают положительными и отрицательными, и их среднее всегда равно 0. Поэтому усредняют квадраты отклонений: $D(X) = (x_1 - E)^2 p_1 + \ldots + (x_n - E)^2 p_n$ . Этот путь короче, когда $E(X)$ — целое число.

Пример

Случайная величина $X$ задана таблицей $\begin{array}{c|ccc} X & 1 & 4 & 7 \\ \hline P & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{array}$ . Найдите дисперсию $X$ .

1. $E(X) = 1 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}4 + 7 \cdot 0{,}3 = 0{,}3 + 1{,}6 + 2{,}1 = 4$ .
2.Отклонения: $1 - 4 = -3$ , $4 - 4 = 0$ , $7 - 4 = 3$ . Квадраты: 9, 0, 9.
3. $D(X) = 9 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}4 + 9 \cdot 0{,}3 = 5{,}4$ .

Ответ: $5{,}4$

Дисперсия — разброс вокруг среднего

Насколько значения 2, 4, 6 и 8 разбросаны вокруг среднего: чему равна

D(X)

\begin{array}{c|cccc} X & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}25 \end{array}

вероятность: тяните точкуостаток до 1

E(X) = {2 \cdot 0{,}25} + {4 \cdot 0{,}25} + {6 \cdot 0{,}25} + {8 \cdot 0{,}25} = 5

E(X^2) = {2^2 \cdot 0{,}25} + {4^2 \cdot 0{,}25} + {6^2 \cdot 0{,}25} + {8^2 \cdot 0{,}25} = 30

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = {30 - 5^2} = 5

\sigma = \sqrt{D(X)} \approx 2{,}24

, поэтому полоса

E(X) \pm \sigma

идёт примерно от

2{,}76

до

7{,}24

Пунктир отмечает

E(X)

, полоса под осью идёт от

E(X) - \sigma

до

E(X) + \sigma

. Чем дальше от

E(X)

высокие столбики, тем больше

D(X)

и шире полоса. Тяните точки: вверх и вниз меняется вероятность, вбок — значение.

Формула через квадраты значений

$D(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ . Здесь $E(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \ldots + x_n^2 p_n$ : в квадрат возводят значения, а вероятности остаются прежними. Формула удобна, когда $E(X)$ — дробное число.

$E(X^2)$ и $(E(X))^2$ — разные числа: в первом сначала возводят в квадрат, потом усредняют, во втором — наоборот. Если разность вышла отрицательной, в вычислениях ошибка.

Пример

Случайная величина $X$ — число попаданий в мишень за тренировку. Её закон распределения задан таблицей $\begin{array}{c|cccc} X & 2 & 4 & 6 & 9 \\ \hline P & 0{,}05 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}75 \end{array}$ . Найдите дисперсию $X$ .

1. $E(X) = 2 \cdot 0{,}05 + 4 \cdot 0{,}05 + 6 \cdot 0{,}15 + 9 \cdot 0{,}75 = 7{,}95$ : дробное число, поэтому считаем через квадраты.
2. $E(X^2) = 4 \cdot 0{,}05 + 16 \cdot 0{,}05 + 36 \cdot 0{,}15 + 81 \cdot 0{,}75 = 0{,}2 + 0{,}8 + 5{,}4 + 60{,}75 = 67{,}15$ .
3. $D(X) = 67{,}15 - 7{,}95^2 = 67{,}15 - 63{,}2025 = 3{,}9475$ .

Ответ: $3{,}9475$

Величина с двумя значениями

Если $X$ принимает только два значения $a$ и $b$ с вероятностями $p$ и $q = 1 - p$ , то $D(X) = (b - a)^2 pq$ .

Формула следует из определения. $E(X) = ap + bq$ , поэтому отклонения равны $(a - b)q$ и $(b - a)p$ . Тогда $D(X) = (b - a)^2 q^2 \cdot p + (b - a)^2 p^2 \cdot q = (b - a)^2 pq(q + p) = (b - a)^2 pq$ .

Пример

Случайная величина $X$ задана таблицей $\begin{array}{c|cc} X & 1 & 6 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}8 \end{array}$ . Найдите дисперсию $X$ .

1. $(b - a)^2 = (6 - 1)^2 = 25$ , $pq = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16$ .
2. $D(X) = 25 \cdot 0{,}16 = 4$ .
3.Проверка по определению: $E(X) = 0{,}2 + 4{,}8 = 5$ , $D(X) = (1 - 5)^2 \cdot 0{,}2 + (6 - 5)^2 \cdot 0{,}8 = 3{,}2 + 0{,}8 = 4$ .

Ответ: $4$

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — корень из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ . Если величина измеряется в рублях, дисперсия измеряется в квадратных рублях, а $\sigma$ — снова в рублях. Поэтому разброс удобно сравнивать со значениями через $\sigma$ . Если дано $\sigma$ , то $D(X) = \sigma^2$ .

Пример

Выигрыш $X$ равен 0 рублей или 10 рублей, оба с вероятностью $0{,}5$ . Найдите стандартное отклонение $X$ .

1.Два значения: $D(X) = (10 - 0)^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25$ .
2. $\sigma(X) = \sqrt{25} = 5$ рублей.

Ответ: $5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать