тема 4 из 8

Математическое ожидание

Математическое ожидание $E(X)$ — среднее значение случайной величины: сумма произведений её значений на их вероятности. Если опыт повторять много раз, среднее арифметическое результатов будет близко к $E(X)$ . В задании 6 так находят средний выигрыш на билет, среднюю прибыль страховой компании и среднее по таблице распределения.

Часто в задании6На карте навыков

Математическое ожидание
—В аналитике

Сумма произведений значений на вероятности

Если величина $X$ принимает значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ , то $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$ . В некоторых учебниках пишут $M(X)$ : это то же самое.

Запишите ряд распределения: все значения и их вероятности. Проверьте, что сумма вероятностей равна 1.
Умножьте каждое значение на его вероятность.
Сложите произведения. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.
Проверьте: $E(X)$ лежит между наименьшим и наибольшим значением.
Ожидание суммы величин и величины $aX + b$ находят по свойствам ожидания.

Закон распределения задан таблицей

Умножьте каждое число верхней строки на число под ним и сложите произведения: $E(X) = x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n$ . Вероятности уже даны, поэтому ничего делить не нужно. Если сумма вышла больше наибольшего значения или меньше наименьшего, ищите ошибку.

Пример

Случайная величина $X$ — число посетителей у стойки информации за минуту. Её закон распределения задан таблицей $\begin{array}{c|cccc} X & 2 & 5 & 9 & 12 \\ \hline P & 0{,}4 & 0{,}05 & 0{,}2 & 0{,}35 \end{array}$ . Найдите математическое ожидание $X$ .

1. $E(X) = 2 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}05 + 9 \cdot 0{,}2 + 12 \cdot 0{,}35$ .
2. $= 0{,}8 + 0{,}25 + 1{,}8 + 4{,}2 = 7{,}05$ .
3.Проверка: $7{,}05$ лежит между 2 и 12.

Ответ: $7{,}05$

Математическое ожидание — точка равновесия

Чему равно среднее значение

E(X)

, если

X

принимает значения 1, 3, 6 и 8?

\begin{array}{c|cccc} X & 1 & 3 & 6 & 8 \\ \hline P & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}2 \end{array}

вероятность: тяните точкуостаток до 1

E(X) = {1 \cdot 0{,}1} + {3 \cdot 0{,}3} + {6 \cdot 0{,}4} + {8 \cdot 0{,}2} = 5

Опора

E(X) = 5

уравновешивает столбики и лежит между наименьшим значением

1

и наибольшим

8

Столбики — грузы на линейке, вес груза равен вероятности. Опора-треугольник стоит в точке

E(X)

и держит линейку в равновесии. Тяните точки: вверх и вниз меняется вероятность, вбок — значение.

Средний выигрыш на один билет

Выигрыш на случайный билет — случайная величина. Если из $N$ билетов $k_i$ дают выигрыш $x_i$ , его вероятность равна $\frac{k_i}{N}$ (ряд распределения из количеств). Билеты без выигрыша дают значение 0 и ничего не добавляют в сумму.

Поэтому $E(X) = \frac{x_1 k_1 + x_2 k_2 + \ldots + x_n k_n}{N}$ : все выигрыши вместе, делённые на число всех билетов. Делите на $N$ , а не на число выигрышных билетов.

Пример

Организаторы ярмарки выпустили 20 000 билетов. Выигрыш 100 рублей дают 40 билетов, 500 рублей — 85 билетов, 1 000 рублей — 70 билетов, 5 000 рублей — 90 билетов. Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

1.Все выигрыши вместе: $100 \cdot 40 + 500 \cdot 85 + 1000 \cdot 70 + 5000 \cdot 90 = 4000 + 42\,500 + 70\,000 + 450\,000 = 566\,500$ рублей.
2.Делим на все 20 000 билетов: $E(X) = \frac{566\,500}{20\,000} = 28{,}325$ .

Ответ: $28{,}325$

Средняя прибыль страховой компании

Клиент платит за полис $c$ рублей. Прибыль компании $X$ с одного полиса — случайная величина. Если страховой случай наступил (вероятность $p$ ), компания выплачивает $S$ рублей, и $X = c - S$ . Если не наступил (вероятность $1 - p$ ), $X = c$ .

Тогда $E(X) = c(1 - p) + (c - S)p = c - Sp$ : взнос минус средняя выплата. Взнос компания получает всегда, поэтому его не умножают на $p$ .

Пример

Клиент платит за полис 4000 рублей. При страховом случае компания выплачивает 200 000 рублей. Вероятность страхового случая равна 0,01. Найдите математическое ожидание прибыли компании с одного полиса в рублях.

1.Прибыль равна 4000 с вероятностью $0{,}99$ и $4000 - 200\,000 = -196\,000$ с вероятностью $0{,}01$ .
2. $E(X) = 4000 \cdot 0{,}99 + (-196\,000) \cdot 0{,}01 = 3960 - 1960 = 2000$ .
3.Короче: $c - Sp = 4000 - 200\,000 \cdot 0{,}01 = 2000$ .

Ответ: $2000$

Среднее арифметическое набора чисел

Среднее арифметическое — сумма чисел, делённая на их количество: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ . Это математическое ожидание числа, выбранного из набора наугад: каждое число выбирают с вероятностью $\frac{1}{n}$ . Число, записанное дважды, складывают дважды и считают в $n$ дважды.

Пример

Магазин записал число покупок за шесть дней: 12, 7, 15, 7, 20, 11. Найдите среднее арифметическое этого набора.

1.Сумма: $12 + 7 + 15 + 7 + 20 + 11 = 72$ .
2.Чисел шесть, число 7 считаем два раза: $\bar{x} = \frac{72}{6} = 12$ .

Ответ: $12$

Симметричное распределение

Если значения стоят симметрично относительно числа $a$ и у симметричных значений равные вероятности, то $E(X) = a$ . Опора стоит в центре симметрии. Сумму очков нескольких бросков находят через ожидание суммы.

Пример

Игральную кость бросают один раз. Найдите математическое ожидание числа выпавших очков.

1.Значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, у каждого вероятность $\frac{1}{6}$ .
2. $E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$ .
3.Проверка: значения симметричны относительно середины между 1 и 6, то есть $3{,}5$ .

Ответ: $3{,}5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать