тема 3 из 8

Ряд распределения случайной величины

Случайная величина — это число, которое зависит от исхода опыта: число выпавших орлов, выигрыш на билет, число покупателей за час. Ряд распределения — таблица, в которой под каждым значением величины стоит его вероятность. Сумма всех вероятностей в таблице равна 1, поэтому одну пропущенную вероятность всегда можно найти.

Часто в задании6На карте навыков

Ряд распределения
—В аналитике

Значения и их вероятности

Случайная величина $X$ принимает значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ . Ряд (закон) распределения записывают таблицей: в верхней строке значения, в нижней — их вероятности.

$p_i = P(X = x_i)$ — вероятность события «величина приняла значение $x_i$ ». Её находят по классическому определению или по теоремам о вероятностях.
Каждая вероятность лежит от 0 до 1.
Сумма всех вероятностей равна 1: $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$ . Величина обязательно примет одно из значений таблицы.
Вероятность того, что $X$ попадёт в промежуток, — сумма вероятностей значений из этого промежутка.

Как составить ряд распределения

Выпишите все значения, которые может принять величина. Для каждого значения соберите исходы опыта, при которых величина равна этому значению, и найдите вероятность. Разные исходы могут давать одно и то же значение. В конце проверьте, что сумма вероятностей равна 1.

Пример

Симметричную монету бросают два раза. Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Составьте ряд распределения $X$ .

1.Четыре равновозможных исхода: ОО, ОР, РО, РР (монеты).
2. $X = 0$ только при РР: $P(X = 0) = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .
3. $X = 1$ при ОР и при РО: $P(X = 1) = \frac{2}{4} = 0{,}5$ .
4. $X = 2$ только при ОО: $P(X = 2) = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .
5.Проверка: $0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 = 1$ .

Ответ: $\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{array}$

Сумма вероятностей ряда равна 1

Какой должна быть

P(X = 6)

, чтобы сумма всех вероятностей была равна 1?

\begin{array}{c|cccc} X & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}4 \end{array}

вероятность: тяните точкуостаток до 1

P(X = 6) = 1 - (0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}1) = 0{,}4

Оранжевый столбик берёт остаток, и сумма всех вероятностей равна 1:

{0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}4 = 1}

Над каждым значением

x

стоит столбик высотой

P(X = x)

. Тяните точки: вверх и вниз меняется вероятность, вбок — значение. Оранжевый столбик сам берёт остаток до 1.

Пропущенная вероятность

Если в таблице не хватает одной вероятности, вычтите из 1 сумму известных: $p_k = 1 - (\text{сумма остальных})$ . Если получилось отрицательное число, такой таблицы не бывает: ищите ошибку в условии или в сложении.

Пример

Случайная величина $X$ задана таблицей $\begin{array}{c|cccc} X & 1 & 2 & 4 & 7 \\ \hline P & 0{,}15 & 0{,}4 & p & 0{,}1 \end{array}$ . Найдите $p$ .

1.Известные вероятности: $0{,}15 + 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}65$ .
2. $p = 1 - 0{,}65 = 0{,}35$ .

Ответ: $0{,}35$

Ряд распределения из таблицы количеств

Иногда в таблице даны не вероятности, а количества: сколько билетов дают каждый выигрыш. Вероятность значения — количество, делённое на число всех билетов. Билеты без выигрыша — тоже значение величины: $X = 0$ . Их число — все билеты минус выигрышные.

Средний выигрыш по такой таблице считают в теме «Математическое ожидание».

Пример

Выпущено 1000 лотерейных билетов. На 50 билетов выпадает выигрыш 100 рублей, на 10 билетов — 1000 рублей, остальные билеты без выигрыша. Составьте ряд распределения выигрыша $X$ на один билет.

1.Без выигрыша $1000 - 50 - 10 = 940$ билетов.
2. $P(X = 0) = \frac{940}{1000} = 0{,}94$ , $P(X = 100) = \frac{50}{1000} = 0{,}05$ , $P(X = 1000) = \frac{10}{1000} = 0{,}01$ .
3.Проверка: $0{,}94 + 0{,}05 + 0{,}01 = 1$ .

Ответ: $\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 100 & 1000 \\ \hline P & 0{,}94 & 0{,}05 & 0{,}01 \end{array}$

Вероятность того, что величина попала в промежуток

События $X = x_1$ , $X = x_2$ , … не могут наступить вместе. Поэтому вероятность события вроде $X \ge 2$ — сумма вероятностей всех подходящих значений (несовместные события). Если подходящих значений много, короче вычесть из 1 вероятности остальных (противоположное событие).

Пример

Случайная величина $X$ задана таблицей $\begin{array}{c|ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & 0{,}1 & 0{,}25 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}15 \end{array}$ . Найдите $P(X \ge 2)$ .

1.Подходят значения 2, 3 и 4: $0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}65$ .
2.Проверка через остальные значения: $1 - (0{,}1 + 0{,}25) = 0{,}65$ .

Ответ: $0{,}65$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать