Свойства математического ожидания и дисперсии

Если $Y = aX + b$, каждое значение $X$ умножают на $a$ и прибавляют $b$. Среднее значение меняется так же: $E(Y) = aE(X) + b$. Прибыль страховой компании — тоже такая величина: взнос минус выплата.

Дисперсия — средний квадрат отклонения от ожидания. Сдвиг на $b$ переносит и значения, и ожидание, поэтому отклонения не меняются. Множитель $a$ умножает каждое отклонение на $a$, а квадрат отклонения — на $a^2$. Итак, $D(Y) = a^2 D(X)$. Знак $a$ не важен, а стандартное отклонение умножается на $|a|$.

В задании обычно даны и $E(X)$, и $D(X)$, а спрашивают одно число. Для $E(Y)$ нужны $E(X)$, $a$ и $b$. Для $D(Y)$ нужны только $D(X)$ и $a$: число $E(X)$ и сдвиг $b$ в дисперсию не входят.

Ожидание суммы равно сумме ожиданий: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$, и так же для трёх и более слагаемых. Это верно для любых величин, независимость не нужна. Заказы в двух кафе, очки за две партии, ожидание автобуса и поездка: общее среднее — сумма средних.

Для дисперсии правило другое: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$, если величины независимы. Величины независимы, если значение одной не меняет вероятности значений другой: очки при разных бросках кости, результаты разных испытаний. Для независимых величин и $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$: разбросы складываются и при вычитании.