тема 11 из 13

Средняя скорость

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время движения. Путь и время каждого участка находят отдельно, потом складывают. Среднее арифметическое скоростей обычно даёт неверный ответ.

Реже в задании11На карте навыков

Средняя скорость на всём пути
—В аналитике

Весь путь делят на всё время

$v_{\text{ср}} = \frac{S_1 + S_2 + S_3}{t_1 + t_2 + t_3}$ .

Найдите путь каждого участка и сложите: это весь путь.
Найдите время каждого участка и сложите: это всё время.
Разделите весь путь на всё время.

Дано время участков

Если дано время каждого участка, путь участка равен $S = v \cdot t$ . Сложите пути участков и разделите сумму на всё время. Среднее арифметическое скоростей равно средней скорости, только если время на всех участках одинаковое.

Пример

Автомобиль ехал 1 ч со скоростью 120 км/ч, 3 ч — со скоростью 105 км/ч и 3 ч — со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1.Весь путь: $120 \cdot 1 + 105 \cdot 3 + 65 \cdot 3 = 120 + 315 + 195 = 630$ км.
2.Всё время: $1 + 3 + 3 = 7$ ч.
3. $v_{\text{ср}} = 630 : 7 = 90$ км/ч.
4.Среднее арифметическое $(120 + 105 + 65) : 3 \approx 96{,}7$ не равно 90: со скоростью 120 км/ч автомобиль ехал 1 ч, а с остальными — по 3 ч.

Ответ: $90$

Дана длина участков

Если дана длина каждого участка, время участка равно $t = \frac{S}{v}$ . Сложите времена участков и разделите весь путь на эту сумму. Дробные времена складывайте через общий знаменатель.

Пример

Автомобиль ехал 200 км со скоростью 60 км/ч, 180 км — со скоростью 90 км/ч и 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1.Время участков: $\frac{200}{60} = \frac{10}{3}$ , $\frac{180}{90} = 2$ , $\frac{140}{120} = \frac{7}{6}$ ч.
2.Всё время: $\frac{20}{6} + \frac{12}{6} + \frac{7}{6} = \frac{39}{6} = 6{,}5$ ч.
3.Весь путь: $200 + 180 + 140 = 520$ км.
4. $v_{\text{ср}} = 520 : 6{,}5 = 80$ км/ч.

Ответ: $80$

Путь — площадь под графиком скорости

Участок

v_1

120\ \text{км/ч}

t_1

1\ \text{ч}

S = 120 \cdot 1 + 105 \cdot 3 + 65 \cdot 3 = 120 + 315 + 195 = 630

t = 1 + 3 + 3 = 7

v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{630}{7} = 90

Среднее скоростей

(120 + 105 + 65) : 3 \approx 96{,}67

— не средняя скорость. Дольше машина ехала медленно.

Ширина прямоугольника — время участка, высота — скорость, площадь — путь. Под пунктиром средней скорости та же площадь за то же время. Двигайте ползунки.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать