тема 12 из 13

Текстовые задачи на проценты

В задаче на проценты сначала решите, какая величина — это $100\%$ : обычно та, с которой сравнивают. Все остальные величины выразите в процентах от неё. Если процент начисляют каждый год от нового значения, множитель возводят в степень.

Реже в задании11На карте навыков

Текстовые задачи на проценты
—В аналитике

Сначала выберите 100 %

За $100\%$ примите величину, с которой сравнивают или от которой считают процент. Остальные величины выразите через неё, как в теме «Проценты».

«Дешевле на $p\%$ » — это $100\% - p\%$ от того, с чем сравнивают, «дороже на $p\%$ » — $100\% + p\%$ .
Ответ «на сколько процентов» — это разность процентов, только когда обе величины выражены в процентах от той величины, с которой сравнивают.

Сравнение цен

За $100\%$ берут то, с чем сравнивают, и выражают другую цену в процентах от неё. «Дешевле на $p\%$ » — это $100\% - p\%$ , «дороже на $p\%$ » — $100\% + p\%$ . Ответ «на сколько процентов дороже» — разность этих процентов, потому что обе цены выражены в процентах от той цены, с которой сравнивают. Если за $100\%$ взята другая величина, разность процентов не годится: разделите разность на то, с чем сравнивают.

Пример

Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки на $4\%$ . На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки?

1.Куртка — $100\%$ . Восемь рубашек стоят $100\% - 4\% = 96\%$ цены куртки.
2.Одна рубашка — $96\% : 8 = 12\%$ , одиннадцать — $11 \cdot 12\% = 132\%$ .
3.Одиннадцать рубашек дороже куртки на $132\% - 100\% = 32\%$ .

Ответ: $32$

Доли дохода

Весь доход — $100\%$ , и он равен сумме частей. Если меняется одна часть, доход меняется на ту же величину. Рост части вдвое добавляет саму часть, уменьшение втрое отнимает $\frac{2}{3}$ части. Так по изменению дохода находят процент части, а последнюю часть — вычитанием из $100\%$ .

Пример

Семья состоит из мужа, жены и дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $67\%$ . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на $4\%$ . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

1.Зарплата мужа выросла вдвое: прибавка равна самой зарплате. Значит, зарплата мужа — $67\%$ дохода.
2.Стипендия уменьшилась втрое: потеряли $\frac{2}{3}$ стипендии, это $4\%$ дохода. Вся стипендия — $4\% : \frac{2}{3} = 6\%$ .
3.Зарплата жены — $100\% - 67\% - 6\% = 27\%$ .

Ответ: $27$

Процент каждый год

a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}

a

5000

p

200\%

n

5

5000 \cdot 3^{5} = 1\,215\,000

3 = 1 + \frac{200}{100}

Каждый раз процент считают от прошлого значения, поэтому

5000

умножают на

3

ровно

5

раз.

Столбец 0 — начальное значение

a

. Каждый следующий столбец больше прошлого на

p\%

от прошлого. Двигайте ползунки

a

p

и число шагов

n

Рост капитала

Прибыль $p\%$ от капитала прошлого года — это умножение капитала на $1 + \frac{p}{100}$ каждый год (множитель). Прибыль каждый год новая, поэтому множитель возводят в степень, равную числу лет. Годы считайте включительно: от 2002 до 2006 года — 5 лет.

Пример

Компания «Альфа» в 2001 году имела капитал 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль $200\%$ от капитала прошлого года. Компания «Бета» в 2003 году имела 10 000 долларов и, начиная с 2004 года, получала прибыль $400\%$ . Прибыль из оборота не изымали. На сколько долларов капитал одной компании больше капитала другой к концу 2006 года?

1.Прибыль $200\%$ — множитель $1 + 2 = 3$ , прибыль $400\%$ — множитель $5$ .
2.У «Альфы» прибыль в 2002–2006 годах, это 5 лет: $5000 \cdot 3^5 = 1\,215\,000$ .
3.У «Беты» прибыль в 2004–2006 годах, это 3 года: $10\,000 \cdot 5^3 = 1\,250\,000$ .
4. $1\,250\,000 - 1\,215\,000 = 35\,000$ .

Ответ: $35\,000$

Сушка

Задачу на сушку решают по сухому веществу, а не по воде: правило и пример — в теме «Смеси и сплавы».

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать