Согласно геометрическому смыслу производной, значение $f'(x_{0})$ соответствует угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.

Для вычисления тангенса удобно рассмотреть прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(4; 8)$, $(0; -4)$ и $(4; -4)$. Длина вертикального катета (противолежащего искомому углу) составляет $8 - (-4) = 12$, а длина горизонтального катета (прилежащего) равна $4 - 0 = 4$.

Таким образом, искомое значение производной равно отношению длин этих катетов: $$\text{tg}\,\alpha = \frac{12}{4} = 3$$