Разбор решения:
Для нахождения корня уравнения $3^{\log _{9} \left(4 x + 1\right)} = 9$ преобразуем основание логарифма в показателе степени. Заметим, что $9 = 3^2$, тогда:
$$3^{\frac{1}{2} \log _{3} \left(4 x + 1\right)} = 9$$
Используя свойства логарифмов и степеней, выражение в левой части можно упростить до:
$$(4x + 1)^{\frac{1}{2}} = 9$$
Чтобы избавиться от степени $\frac{1}{2}$ (квадратного корня), возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
$$4x + 1 = 9^2$$
$$4x + 1 = 81$$
Перенесем единицу в правую часть и вычислим значение переменной:
$$4x = 80$$
$$x = 20$$

Ответ: 20

Источник: ФИПИ