Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Для начала внимательно посмотрим на выражение под корнем: $a^{2} - 4ab + 4b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой формулу квадрата разности: $(x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}$.

2. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полные квадраты:
$a^{2} - 4ab + 4b^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^{2} = (a - 2b)^{2}$.

3. Теперь подставим это преобразование обратно в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} - 4ab + 4b^{2}} = \sqrt{(a - 2b)^{2}}$.

4. Вспомним важное свойство корня: корень из квадрата числа равен модулю этого числа, то есть $\sqrt{x^{2}} = |x|$.
Следовательно, $\sqrt{(a - 2b)^{2}} = |a - 2b|$.

5. Подставим в полученное выражение значения переменных $a = 3$ и $b = 4$:
$|3 - 2 \cdot 4| = |3 - 8| = |-5|$.

6. Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, получаем:
$|-5| = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ