Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.

1) Сначала раскроем скобки в выражении $(\sqrt{5} + 9)^{2}$.
Здесь роль $a$ играет $\sqrt{5}$, а роль $b$ играет число $9$:
$(\sqrt{5} + 9)^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 9 + 9^{2}$.

2) Выполним возведение в степень и умножение:
— Квадрат корня равен самому подкоренному выражению: $(\sqrt{5})^{2} = 5$.
— Удвоенное произведение: $2 \cdot \sqrt{5} \cdot 9 = 18\sqrt{5}$.
— Квадрат девятки: $9^{2} = 81$.
Получаем: $5 + 18\sqrt{5} + 81$.

3) Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$(5 + 18\sqrt{5} + 81) - 18\sqrt{5}$.

4) Заметим, что слагаемые $18\sqrt{5}$ и $-18\sqrt{5}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю (они взаимно уничтожаются):
$5 + 81 + 18\sqrt{5} - 18\sqrt{5} = 5 + 81$.

5) Сложим оставшиеся числа:
$5 + 81 = 86$.

Ответ: 86

Источник: ФИПИ