Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала внимательно посмотрим на выражение под знаком корня: $a^{2} - 10ab + 25b^{2}$. Заметим, что это выражение представляет собой формулу квадрата разности: $x^{2} - 2xy + y^{2} = (x - y)^{2}$.

2. В нашем случае роль $x$ играет $a$, а роль $y$ играет $5b$, так как $(5b)^{2} = 25b^{2}$ и удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$. Таким образом, мы можем свернуть подкоренное выражение:
$a^{2} - 10ab + 25b^{2} = (a - 5b)^{2}$.

3. Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} - 10ab + 25b^{2}} = \sqrt{(a - 5b)^{2}}$.

4. Вспомним важное свойство корня: $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Применяя его, получаем:
$\sqrt{(a - 5b)^{2}} = |a - 5b|$.

5. Подставим данные в условии значения $a = 7$ и $b = 2$ в полученный модуль:
$|7 - 5 \cdot 2| = |7 - 10| = |-3|$.

6. Так как модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному, получаем:
$|-3| = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ