Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся основным свойством корней: произведение и частное квадратных корней из положительных чисел можно объединить под один общий корень. Вспомним формулы:
1) $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Шаг 1. Запишем всё выражение под одним знаком корня:
$\frac{\sqrt{35} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{35 \cdot 21}{15}}$

Шаг 2. Чтобы упростить вычисления, разложим числа под корнем на простые множители:
Число $35$ представим как $5 \cdot 7$.
Число $21$ представим как $3 \cdot 7$.
Число $15$ представим как $3 \cdot 5$.

Шаг 3. Подставим эти разложения в нашу дробь:
$\sqrt{\frac{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)}{3 \cdot 5}}$

Шаг 4. Сократим дробь. Мы видим в числителе и знаменателе одинаковые множители $3$ и $5$. После их сокращения в числителе останется только $7 \cdot 7$, а в знаменателе — единица:
$\sqrt{\frac{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7}{3 \cdot 5}} = \sqrt{7 \cdot 7} = \sqrt{49}$

Шаг 5. Извлечём квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{49} = 7$

Ответ: 7

Источник: ФИПИ