Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Наша цель — привести все числа к одинаковым основаниям, чтобы выполнить сокращение.

1. Заметим, что число $22$ в знаменателе можно представить как произведение простых множителей: $22 = 2 \cdot 11$.
Тогда выражение в знаменателе примет вид: $22^{7} = (2 \cdot 11)^{7}$.

2. Применим свойство возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$.
Получаем: $(2 \cdot 11)^{7} = 2^{7} \cdot 11^{7}$.

3. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{2^{10} \cdot 11^{7}}{2^{7} \cdot 11^{7}}$

4. Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $11^{7}$. Остаётся:
$\frac{2^{10}}{2^{7}}$

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$.
Вычисляем: $2^{10-7} = 2^{3}$.

6. Возведём число $2$ в третью степень:
$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ