Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Заметим, что выражение $36 a^{2} + 12 a b + b^{2}$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.
В нашем случае:
$36 a^{2} = (6a)^{2}$ — это квадрат первого числа;
$b^{2}$ — это квадрат второго числа;
$12 a b = 2 \cdot 6a \cdot b$ — это их удвоенное произведение.

2. Таким образом, подкоренное выражение можно свернуть:
$36 a^{2} + 12 a b + b^{2} = (6a + b)^{2}$.

3. Теперь наше исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{(6a + b)^{2}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$, значит:
$\sqrt{(6a + b)^{2}} = |6a + b|$.

4. Подставим данные значения $a = \frac{4}{5}$ и $b = 8 \frac{1}{5}$ в полученное выражение. Сначала переведём смешанное число $b$ в неправильную дробь:
$b = 8 \frac{1}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{41}{5}$.

5. Вычислим значение суммы внутри модуля:
$6a + b = 6 \cdot \frac{4}{5} + \frac{41}{5} = \frac{24}{5} + \frac{41}{5} = \frac{24 + 41}{5} = \frac{65}{5}$.

6. Сократим дробь:
$\frac{65}{5} = 13$.

7. Так как число $13$ положительное, то $|13| = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ