Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Наша цель — упростить выражение так, чтобы можно было легко произвести вычисления.

1. Рассмотрим знаменатель дроби: $70^{6}$. Заметим, что число $70$ можно представить в виде произведения двух множителей, которые уже есть в числителе: $70 = 7 \cdot 10$.
Тогда, согласно свойству степени произведения $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$, мы можем записать:
$70^{6} = (7 \cdot 10)^{6} = 7^{6} \cdot 10^{6}$.

2. Подставим полученное выражение для знаменателя в исходную дробь:
$\frac{7^{8} \cdot 10^{6}}{7^{6} \cdot 10^{6}}$.

3. Теперь мы можем сократить дробь. Заметим, что множитель $10^{6}$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Разделим на него:
$\frac{7^{8} \cdot 10^{6}}{7^{6} \cdot 10^{6}} = \frac{7^{8}}{7^{6}}$.

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются ($\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$):
$\frac{7^{8}}{7^{6}} = 7^{8-6} = 7^{2}$.

5. Возведём число $7$ во вторую степень:
$7^{2} = 7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: 49

Источник: ФИПИ