Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Она устанавливает связь между стороной треугольника, противолежащим ей углом и радиусом описанной окружности.

1. Согласно теореме синусов, отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$):
$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

2. Нам известны следующие данные:
Сторона $AB = 8\sqrt{2}$;
Угол $C = 45^\circ$.

3. Вспомним значение синуса для угла $45^\circ$:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Подставим эти значения в формулу:
$2R = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

5. Упростим выражение. При делении на дробь мы умножаем на обратную ей дробь:
$2R = 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$
Корни $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе сокращаются:
$2R = 8 \cdot 2$
$2R = 16$

6. Чтобы найти радиус $R$, разделим обе части уравнения на $2$:
$R = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 8

Источник: ФИПИ