Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Наша задача — привести числа в числителе и знаменателе к одинаковым основаниям.

1. Заметим, что число $40$ в знаменателе можно представить как произведение чисел $5$ и $8$, которые уже есть в числителе:
$40 = 5 \cdot 8$.

2. Используем свойство возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$.
Тогда знаменатель примет вид:
$40^{9} = (5 \cdot 8)^{9} = 5^{9} \cdot 8^{9}$.

3. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{5^{9} \cdot 8^{11}}{5^{9} \cdot 8^{9}}$.

4. Теперь мы можем сократить дробь. Числа $5^{9}$ в числителе и знаменателе одинаковы, поэтому они сокращаются (дают единицу):
$\frac{5^{9} \cdot 8^{11}}{5^{9} \cdot 8^{9}} = \frac{8^{11}}{8^{9}}$.

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$.
Применим это правило:
$8^{11} : 8^{9} = 8^{11-9} = 8^{2}$.

6. Возведем число $8$ во вторую степень:
$8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$.

Ответ: 64

Источник: ФИПИ