Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $A B$ трапеции $A B C D$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $A B$ , если $A F = 15$ , $B F = 8$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ . По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$ , так как они являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ . Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) По условию задачи, $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Это значит, что:
$\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$ ,
$\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$ .

3) Рассмотрим треугольник $ABF$ . Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ . Найдём сумму углов $FAB$ и $FBA$ :
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)$ .
Подставим значение суммы углов из первого шага:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .

4) Теперь найдём угол $AFB$ в треугольнике $ABF$ :
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$ .

5) В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$ .
Подставим известные значения:
$AB^2 = 15^2 + 8^2$ ,
$AB^2 = 225 + 64$ ,
$AB^2 = 289$ .

6) Извлечём квадратный корень:
$AB = \sqrt{289} = 17$ .

Ответ: 17

Источник: ФИПИ