Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) По условию задачи, $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Это значит, что:
$\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$,
$\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3) Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $FAB$ и $FBA$:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)$.
Подставим значение суммы углов из первого шага:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4) Теперь найдём угол $AFB$ в треугольнике $ABF$:
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5) В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения:
$AB^2 = 15^2 + 8^2$,
$AB^2 = 225 + 64$,
$AB^2 = 289$.

6) Извлечём квадратный корень:
$AB = \sqrt{289} = 17$.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ