Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $A B$ трапеции $A B C D$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $A B$ , если $A F = 15$ , $B F = 8$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ . По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$ , так как они являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ . Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) По условию задачи, $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Это значит, что:
$\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$ ,
$\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$ .

3) Рассмотрим треугольник $ABF$ . Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ . Найдём сумму углов $FAB$ и $FBA$ :
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)$ .
Подставим значение суммы углов из первого шага:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .

4) Теперь найдём угол $AFB$ в треугольнике $ABF$ :
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$ .

5) В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$ .
Подставим известные значения:
$AB^2 = 15^2 + 8^2$ ,
$AB^2 = 225 + 64$ ,
$AB^2 = 289$ .

6) Извлечём квадратный корень:
$AB = \sqrt{289} = 17$ .

Ответ: 17

Источник: ФИПИ