Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет $a = 16$, а гипотенуза $c = 34$. Нам необходимо найти высоту $h$, проведённую к этой гипотенузе.

Шаг 1. Найдём второй катет треугольника.
Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).
Выразим второй катет $b$:
$b^2 = c^2 - a^2$
$b^2 = 34^2 - 16^2$
Для вычисления удобно использовать формулу разности квадратов:
$b^2 = (34 - 16)(34 + 16) = 18 \cdot 50 = 900$
Отсюда $b = \sqrt{900} = 30$.

Шаг 2. Найдём площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$.

Шаг 3. Найдём высоту, проведённую к гипотенузе.
С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. В нашем случае основанием является гипотенуза $c$, а высотой — искомая величина $h$:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Подставим известные значения площади и гипотенузы в формулу:
$240 = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot h$
$240 = 17 \cdot h$
Выразим $h$:
$h = \frac{240}{17}$.

Выделим целую часть: $240 : 17 = 14$ (остаток $2$). Таким образом, $h = 14\frac{2}{17}$.

Ответ: $\frac{240}{17}$ (или $14\frac{2}{17}$)

Источник: ФИПИ