Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. Так как $AF$ — биссектриса угла $A$, то $\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$. Аналогично, так как $BF$ — биссектриса угла $B$, то $\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3. Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $FAB$ и $FBA$:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4. Найдём третий угол треугольника $ABF$:
$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5. В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения катетов:
$AB^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$.

6. Найдём длину гипотенузы $AB$:
$AB = \sqrt{676} = 26$.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ