Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. По условию центр лежит на стороне $AC$, а окружность проходит через точку $C$. Значит, $OC$ — радиус окружности. Обозначим радиус через $R$. Так как диаметр окружности равен 15, то $R = 15 : 2 = 7,5$.

2) Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$. По свойству касательной, радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник $ABO$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

3) В прямоугольном треугольнике $ABO$ нам известны катеты: $AB = 4$ (по условию) и $OB = R = 7,5$. Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти гипотенузу $AO$:
$AO^2 = AB^2 + OB^2$
$AO^2 = 4^2 + 7,5^2$
$AO^2 = 16 + 56,25$
$AO^2 = 72,25$
$AO = \sqrt{72,25} = 8,5$.

4) Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, так как центр окружности по условию находится на этой стороне. Следовательно, длина отрезка $AC$ складывается из длин отрезков $AO$ и $OC$:
$AC = AO + OC$.
Поскольку $OC$ — это радиус окружности, $OC = R = 7,5$.
Подставим значения:
$AC = 8,5 + 7,5 = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ