Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Вспомним свойство параллельных прямых: накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Теперь посмотрим на треугольник $ABK$. Мы выяснили, что $\angle BAK = \angle DAK$ (так как $AK$ — биссектриса) и $\angle BKA = \angle DAK$ (как накрест лежащие). Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

4) Так как в треугольнике $ABK$ два угла равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $AB = BK$. По условию $BK = 6$, следовательно, $AB = 6$.

5) Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 6$ и $CK = 10$. Тогда $BC = BK + CK = 6 + 10 = 16$.

6) У параллелограмма противоположные стороны равны: $AB = CD = 6$ и $BC = AD = 16$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (AB + BC)$.

7) Подставим найденные значения: $P = 2 \cdot (6 + 16) = 2 \cdot 22 = 44$.

Ответ: 44

Источник: ФИПИ