Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$. По условию задачи $BO : OH = 41 : 40$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{41}{40}$.

3) Пусть $AB = 41x$, тогда $AH = 40x$. По теореме Пифагора для треугольника $ABH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (41x)^2 - (40x)^2 = (41x - 40x)(41x + 40x) = x \cdot 81x = 81x^2$.
Отсюда $BH = \sqrt{81x^2} = 9x$.

4) Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{9x}{41x} = \frac{9}{41}$.

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 18$ и $\sin A = \frac{9}{41}$:
$2R = \frac{18}{\frac{9}{41}} = 18 \cdot \frac{41}{9} = 2 \cdot 41 = 82$.

6) Найдём радиус:
$R = \frac{82}{2} = 41$.

Ответ: 41

Источник: ФИПИ