Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$.
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $KAB$ и $KBA$:
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH$ — перпендикуляр к стороне $AB$, $KM$ — перпендикуляр к стороне $BC$, а $KN$ — перпендикуляр к стороне $AD$.
По условию расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 6, то есть $KH = 6$.

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$: $KM = KH = 6$.
Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$: $KN = KH = 6$.

5) Точки $M$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой, так как $BC \parallel AD$, а $KM$ и $KN$ перпендикулярны этим параллельным прямым. Отрезок $MN$ является высотой $h$ параллелограмма $ABCD$.
Высота $h = MN = MK + KN = 6 + 6 = 12$.

6) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, к которой проведена высота.
Нам известна сторона $BC = 6$ и высота $h = 12$.
$S = BC \cdot MN = 6 \cdot 12 = 72$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ