Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $BC \parallel AD$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) Поскольку $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов, то в треугольнике $ABK$ сумма углов при основании $AB$ равна: $\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH$ — перпендикуляр к стороне $AB$, $KM$ — перпендикуляр к стороне $BC$, а $KN$ — перпендикуляр к стороне $AD$. По условию задачи $KH = 10$.

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, а любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $BC$ равно расстоянию от $K$ до $AB$, то есть $KM = KH = 10$.

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому она равноудалена от сторон $AB$ и $AD$. Значит, $KN = KH = 10$.

6) Высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $BC$ (или $AD$), равна сумме перпендикуляров $KM$ и $KN$, так как точки $M$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой (эта прямая перпендикулярна параллельным прямым $BC$ и $AD$). Таким образом, $h = KM + KN = 10 + 10 = 20$.

7) Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Нам известна сторона $BC = 19$ и найденная высота $h = 20$.
$S = BC \cdot h = 19 \cdot 20 = 380$.

Ответ: 380

Источник: ФИПИ