Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 19$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 10.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ . Так как $BC \parallel AD$ , то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$ . Следовательно, их сумма равна $180^\circ$ : $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) Поскольку $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов, то в треугольнике $ABK$ сумма углов при основании $AB$ равна: $\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ . Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH$ — перпендикуляр к стороне $AB$ , $KM$ — перпендикуляр к стороне $BC$ , а $KN$ — перпендикуляр к стороне $AD$ . По условию задачи $KH = 10$ .

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ , а любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $BC$ равно расстоянию от $K$ до $AB$ , то есть $KM = KH = 10$ .

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ , поэтому она равноудалена от сторон $AB$ и $AD$ . Значит, $KN = KH = 10$ .

6) Высота параллелограмма $h$ , опущенная на сторону $BC$ (или $AD$ ), равна сумме перпендикуляров $KM$ и $KN$ , так как точки $M$ , $K$ и $N$ лежат на одной прямой (эта прямая перпендикулярна параллельным прямым $BC$ и $AD$ ). Таким образом, $h = KM + KN = 10 + 10 = 20$ .

7) Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$ , где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Нам известна сторона $BC = 19$ и найденная высота $h = 20$ .
$S = BC \cdot h = 19 \cdot 20 = 380$ .

Ответ: 380

Источник: ФИПИ