Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Из свойств вписанного четырёхугольника мы знаем, что сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$.

2. Углы $\angle KPC$ и $\angle APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$. Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем, что $\angle APK = \angle KBC$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$. У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$.

5. По условию задачи сторона $BC$ в 3 раза меньше стороны $AB$. Это можно записать в виде отношения: $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{3}$.

6. Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$.

7. Подставим известные значения: $AP = 9$ и $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{3}$.
$KP = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ