Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 12$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 9.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ . Так как $AD \parallel BC$ , то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$ . Следовательно, их сумма равна $180^\circ$ : $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$ .
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$ . Найдём сумму углов $KAB$ и $KBA$ :
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .
Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ высоту параллелограмма $H_1 H_2$ , где точка $H_1$ лежит на стороне $BC$ (или её продолжении), а точка $H_2$ — на стороне $AD$ . Также проведём перпендикуляр $KH_3$ к стороне $AB$ . По условию $KH_3 = 9$ .

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ . По свойству биссектрисы, любая её точка равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $K$ до стороны $BC$ . Таким образом, $KH_1 = KH_3 = 9$ .

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Значит, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $K$ до стороны $AD$ . Таким образом, $KH_2 = KH_3 = 9$ .

6) Высота параллелограмма $h$ , опущенная на сторону $BC$ , равна сумме перпендикуляров $KH_1$ и $KH_2$ , так как они лежат на одной прямой (высота между параллельными прямыми):
$h = KH_1 + KH_2 = 9 + 9 = 18$ .

7) Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$ , где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Нам известна сторона $BC = 12$ и высота $h = 18$ .
$S = BC \cdot h = 12 \cdot 18 = 216$ .

Ответ: 216

Источник: ФИПИ