Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$.
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $KAB$ и $KBA$:
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ высоту параллелограмма $H_1 H_2$, где точка $H_1$ лежит на стороне $BC$ (или её продолжении), а точка $H_2$ — на стороне $AD$. Также проведём перпендикуляр $KH_3$ к стороне $AB$. По условию $KH_3 = 9$.

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. По свойству биссектрисы, любая её точка равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $K$ до стороны $BC$. Таким образом, $KH_1 = KH_3 = 9$.

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$. Значит, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $K$ до стороны $AD$. Таким образом, $KH_2 = KH_3 = 9$.

6) Высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $BC$, равна сумме перпендикуляров $KH_1$ и $KH_2$, так как они лежат на одной прямой (высота между параллельными прямыми):
$h = KH_1 + KH_2 = 9 + 9 = 18$.

7) Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Нам известна сторона $BC = 12$ и высота $h = 18$.
$S = BC \cdot h = 12 \cdot 18 = 216$.

Ответ: 216

Источник: ФИПИ