Вариант 10 · Август 2026

Решение.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится обыкновенная дробь $\frac{124}{15}$, необходимо выделить из неё целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель «уголком» или подберём ближайшее целое число.

1. Вспомним таблицу умножения на $15$:
$15 \cdot 8 = 120$
$15 \cdot 9 = 135$

2. Мы видим, что число $124$ больше, чем $120$, но меньше, чем $135$. Значит, целая часть дроби равна $8$.
Выполним деление с остатком:
$124 = 15 \cdot 8 + 4$

3. Запишем дробь в виде смешанного числа:
$\frac{124}{15} = 8\frac{4}{15}$

4. Число $8\frac{4}{15}$ больше $8$, но меньше следующего за ним целого числа $9$. Следовательно, выполняется двойное неравенство:
$8 < 8\frac{4}{15} < 9$

Таким образом, число заключено между целыми числами $8$ и $9$. Это соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся распределительным свойством умножения: чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое в скобках умножить на это число.

1) Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $\sqrt{2}$:
$(\sqrt{32} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

2) Воспользуемся свойством корня $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Перемножим числа под знаками корней:
$\sqrt{32 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{64} + \sqrt{4}$

3) Извлечем квадратные корни из полученных чисел:
$\sqrt{64} = 8$, так как $8^2 = 64$;
$\sqrt{4} = 2$, так как $2^2 = 4$.

4) Сложим полученные результаты:
$8 + 2 = 10$

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Решение.

Перед нами неполное квадратное уравнение вида $ax^{2} + bx = 0$. Для его решения воспользуемся методом разложения на множители.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$8x^{2} - 72x = 0$

2. Заметим, что в левой части оба слагаемых имеют общий множитель $8x$. Вынесем его за скобки:
$8x(x - 9) = 0$

3. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы можем приравнять к нулю каждый множитель по отдельности:
1) $8x = 0$
2) $x - 9 = 0$

4. Решим полученные простые уравнения:
Из первого уравнения: $x = 0 / 8$, то есть $x_{1} = 0$.
Из второго уравнения: перенесём $-9$ в правую часть с противоположным знаком, получим $x_{2} = 9$.

5. Уравнение имеет два корня: $0$ и $9$. По условию задачи, если корней несколько, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним числа: $0 < 9$, значит, меньший корень — это $0$.

Ответ: 0

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству всех возможных исходов опыта.

1. Сначала посчитаем общее количество элементарных событий в данном опыте. На диаграмме они обозначены точками. Посчитав все точки внутри прямоугольника (включая те, что находятся внутри кругов $A$ и $B$), мы увидим, что их всего $10$. Таким образом, общее число исходов $n = 10$.

2. Теперь определим, какие исходы являются благоприятными для события $A$. Событию $A$ соответствуют все точки, которые находятся внутри круга, обозначенного буквой $A$. Посчитаем их количество.

3. Внутри круга $A$ находится $4$ точки (обратите внимание, что сюда входят и те точки, которые одновременно принадлежат кругу $B$, так как они всё равно являются частью события $A$). Таким образом, количество благоприятных исходов $m = 4$.

4. Вычислим вероятность события $A$ по формуле:
$P(A) = \frac{m}{n}$

5. Подставим наши значения:
$P(A) = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения данной задачи вспомним геометрический смысл коэффициентов линейной функции $y = kx + b$:

1) Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, то функция возрастает (прямая идет «вверх» слева направо). Если $k < 0$, то функция убывает (прямая идет «вниз» слева направо).
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Если график пересекает ось $Oy$ выше начала координат (оси $Ox$), то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Прямая направлена вниз (функция убывает), значит, $k < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, значит, $b > 0$. Это соответствует условию А.

График №2: Прямая направлена вниз (функция убывает), значит, $k < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже оси $Ox$, значит, $b < 0$. Это соответствует условию Б.

График №3: Прямая направлена вверх (функция возрастает), значит, $k > 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, значит, $b > 0$. Это соответствует условию В.

Сопоставим буквы и цифры:
А — 1
Б — 2
В — 3

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой кинетической энергии, представленной на рисунках:
$E_k = \frac{mv^2}{2}$,
где $m$ — масса тела в килограммах, $v$ — скорость тела в метрах в секунду, $E_k$ — кинетическая энергия в джоулях.

1. Выпишем известные из условия значения:
Масса автомобиля $m = 1600$ кг.
Кинетическая энергия $E_k = 500$ тысяч джоулей. Переведём это число в стандартный вид: $E_k = 500 \cdot 1000 = 500\,000$ Дж.

2. Подставим данные значения в формулу:
$500\,000 = \frac{1600 \cdot v^2}{2}$

3. Упростим правую часть уравнения, разделив 1600 на 2:
$500\,000 = 800 \cdot v^2$

4. Теперь выразим квадрат скорости $v^2$. Для этого разделим обе части уравнения на 800:
$v^2 = \frac{500\,000}{800}$
Сократим на 100 (уберем по два нуля в числителе и знаменателе):
$v^2 = \frac{5000}{8}$
Выполним деление:
$v^2 = 625$

5. Чтобы найти скорость $v$, необходимо извлечь квадратный корень из 625. Так как скорость — величина положительная, берем только положительное значение:
$v = \sqrt{625}$
$v = 25$

Таким образом, скорость автомобиля составляет 25 м/с.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён промежуток между числами $-4$ и $4$. Точки закрашены, значит, границы входят в решение. Это соответствует неравенству $-4 \leq x \leq 4$.

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 1 и 3 используется выражение $x^{2} + 16$. Поскольку квадрат любого числа $x^{2} \geq 0$, то выражение $x^{2} + 16$ всегда больше или равно 16. Следовательно, неравенство $x^{2} + 16 \geq 0$ верно при любом $x$, а неравенство $x^{2} + 16 \leq 0$ не имеет решений. Эти варианты нам не подходят.

3) Остаются варианты 2 и 4 с выражением $x^{2} - 16$. Найдём корни соответствующего уравнения:
$x^{2} - 16 = 0$
$x^{2} = 16$
$x_{1} = -4$, $x_{2} = 4$. Корни совпадают с числами на рисунке.

4) Графиком функции $f(x) = x^{2} - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен). Парабола пересекает ось $x$ в точках $-4$ и $4$. Значения функции отрицательны ($\leq 0$) на внутреннем промежутке, то есть между корнями, и положительны ($\geq 0$) на внешних промежутках.

5) На рисунке заштрихована именно внутренняя часть — от $-4$ до $4$. Это соответствует условию $x^{2} - 16 \leq 0$.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи проанализируем высоты, на которые поднимается мячик после каждого прыжка. Так как высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущей, мы имеем дело с геометрической прогрессией.

1. Обозначим высоту после первого прыжка как $b_1 = 4,5$ м.
Знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1}{3}$, так как высота уменьшается в три раза.

2. В условии задачи спрашивается, при каком прыжке высота станет меньше 20 см. Переведём все данные в одну систему единиц. Удобнее работать в сантиметрах:
$b_1 = 4,5 \text{ м} = 450 \text{ см}$.
Нам нужно найти такой номер прыжка $n$, при котором $b_n < 20$.

3. Вычислим высоты последовательных прыжков:
— После 1-го прыжка: $b_1 = 450$ см.
— После 2-го прыжка: $b_2 = 450 : 3 = 150$ см.
— После 3-го прыжка: $b_3 = 150 : 3 = 50$ см.
— После 4-го прыжка: $b_4 = 50 : 3 = 16\frac{2}{3}$ см (или примерно $16,67$ см).

4. Сравним полученные значения с порогом в 20 см:
$450 > 20$ (1-й прыжок — выше);
$150 > 20$ (2-й прыжок — выше);
$50 > 20$ (3-й прыжок — выше);
$16,67 < 20$ (4-й прыжок — ниже).

Таким образом, именно при 4-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 20 см.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B H$. По условию задачи $B H$ является высотой треугольника $A B C$, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$, следовательно, угол $A H B$ равен $90^\circ$.

2. Таким образом, треугольник $A B H$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

3. Нам известно, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $A B H$ это записывается так:
$\angle B A H + \angle A H B + \angle A B H = 180^\circ$.

4. Угол $\angle B A H$ — это тот же самый угол, что и $\angle B A C$, который по условию равен $37^\circ$. Подставим известные значения в уравнение:
$37^\circ + 90^\circ + \angle A B H = 180^\circ$.

5. Вычислим искомый угол $\angle A B H$:
$127^\circ + \angle A B H = 180^\circ$;
$\angle A B H = 180^\circ - 127^\circ$;
$\angle A B H = 53^\circ$.

Замечание: Также можно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника, согласно которому сумма двух его острых углов равна $90^\circ$. Тогда $\angle A B H = 90^\circ - \angle B A H = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.

Ответ: 53

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся важным свойством четырёхугольника, вписанного в окружность.

1. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$.

2. В нашем четырёхугольнике $ABCD$ противоположными являются углы $A$ и $C$, а также углы $B$ и $D$. Следовательно, выполняется равенство:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

3. По условию задачи нам известен угол $A$, он равен $82^\circ$. Подставим это значение в формулу:
$82^\circ + \angle C = 180^\circ$.

4. Чтобы найти угол $C$, необходимо из $180^\circ$ вычесть известную величину угла $A$:
$\angle C = 180^\circ - 82^\circ$;
$\angle C = 98^\circ$.

Таким образом, искомый угол $C$ равен $98^\circ$.

Ответ: 98

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним определение и свойства средней линии трапеции.

1. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. По свойству трапеции, средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$. По условию задачи:
Верхнее основание $a = 3$;
Нижнее основание $b = 9$.

3. Запишем формулу для нахождения средней линии $m$:
$m = \frac{a + b}{2}$

4. Подставим известные значения оснований в формулу:
$m = \frac{3 + 9}{2}$
$m = \frac{12}{2}$
$m = 6$

5. Обратите внимание, что значение высоты трапеции (равное 5) в данной задаче является избыточным данным. Для нахождения длины средней линии нам достаточно знать только длины оснований.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.

1) Сначала найдём длину основания параллелограмма. На рисунке видно, что высота делит нижнюю сторону на два отрезка, длины которых равны $3$ и $7$. Следовательно, вся длина основания $a$ равна их сумме:
$a = 3 + 7 = 10$.

2) Теперь определим высоту параллелограмма. На рисунке проведена высота к найденному основанию, и её длина указана числом $4$. Таким образом, $h = 4$.

3) Вычислим площадь параллелограмма, подставив значения в формулу:
$S = 10 \cdot 4 = 40$.

Заметим, что боковая сторона, равная $5$, в данном случае является избыточным данным и не требуется для нахождения площади через основание и высоту.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.

1) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Это утверждение неверно. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, он как минимум должен быть параллелограммом. Существуют четырёхугольники (например, произвольный равнобедренный делетоид), у которых диагонали равны и перпендикулярны, но стороны не параллельны и не равны между собой. Чтобы фигура была квадратом, диагонали должны не только быть равны и перпендикулярны, но и точкой пересечения делиться пополам.

2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Это утверждение верно. Сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Следовательно, на сумму двух оставшихся (острых) углов приходится: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

3) Смежные углы всегда равны.
Это утверждение неверно. По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Они равны между собой только в одном частном случае — когда оба угла прямые (по $90^\circ$). В остальных случаях один из смежных углов острый, а другой — тупой.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ