Вариант 2 · Август 2026

Решение.

Чтобы определить, какое из данных чисел принадлежит отрезку $[6; 7]$, нам нужно представить каждое число в виде смешанного числа (выделить целую часть) или перевести границы отрезка в дроби со знаменателем $13$.

Способ 1. Выделение целой части.

Разделим числитель каждой дроби на знаменатель $13$ с остатком:

1) $\frac{68}{13} = 5\frac{3}{13}$. Это число меньше $6$, так как целая часть равна $5$. Оно не входит в отрезок $[6; 7]$.
2) $\frac{82}{13} = 6\frac{4}{13}$. Целая часть равна $6$, и есть дробный остаток. Это число больше $6$, но меньше $7$. Оно принадлежит отрезку $[6; 7]$.
3) $\frac{92}{13} = 7\frac{1}{13}$. Это число больше $7$, так как целая часть уже равна $7$ и есть остаток. Оно не входит в отрезок.
4) $\frac{101}{13} = 7\frac{10}{13}$. Это число также больше $7$. Оно не входит в отрезок.

Способ 2. Представление границ отрезка в виде дробей.

Представим числа $6$ и $7$ в виде дробей со знаменателем $13$:
$6 = \frac{6 \cdot 13}{13} = \frac{78}{13}$
$7 = \frac{7 \cdot 13}{13} = \frac{91}{13}$

Отрезок $[6; 7]$ соответствует промежутку от $\frac{78}{13}$ до $\frac{91}{13}$.
Сравним наши варианты с этими границами:
$\frac{78}{13} < \frac{82}{13} < \frac{91}{13}$

Следовательно, число $\frac{82}{13}$ находится внутри указанного отрезка. Это вариант под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения данного задания воспользуемся основными свойствами степеней.

1) Сначала упростим выражение в скобках, используя правило возведения степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются.
$(a^{2})^{6} = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$

2) Теперь перемножим полученный результат с первым множителем. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
$a^{-9} \cdot a^{12} = a^{-9 + 12} = a^{3}$

3) Мы получили упрощённое выражение $a^{3}$. Теперь подставим в него значение $a = 5$, данное по условию задачи:
$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5$

4) Выполним вычисления:
$5 \cdot 5 = 25$
$25 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 144 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Шаг 1. Перенос свободного члена.
Перенесём число $-144$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x^{2} = 144$

Шаг 2. Извлечение квадратного корня.
Нам нужно найти такие числа, квадрат которых равен $144$. Вспомним таблицу квадратов: $12^{2} = 144$.
Важно помнить, что при возведении в чётную степень как положительное, так и отрицательное число дают положительный результат. Поэтому уравнение имеет два корня:
$x = \sqrt{144}$ или $x = -\sqrt{144}$
$x_{1} = 12$
$x_{2} = -12$

Шаг 3. Выбор ответа.
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-12 < 12$
Следовательно, меньшим корнем является $-12$.

Ответ: -12

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала найдём количество чашек с синими цветами. По условию всего чашек $20$, из них $14$ с красными цветами. Значит, синих чашек:
$20 - 14 = 6$.

2. Общее число возможных исходов — это общее количество чашек, в которые бабушка может налить чай. В данном случае их $n = 20$.

3. Благоприятным исходом является выбор чашки с синими цветами. Количество таких исходов равно количеству синих чашек: $m = 6$.

4. Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{20}$.

5. Для перевода дроби в десятичный вид сократим её на $2$:
$\frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

Ответ: 0,3

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$ (так как при $x = 0$ получаем $y = c$). Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$; если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ в верхней полуплоскости (выше нуля), значит, $c > 0$. Это соответствует варианту 1.

График Б: Ветви параболы направлены вниз, значит, $a < 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $c > 0$. Это соответствует варианту 3.

График В: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ в нижней полуплоскости (ниже нуля), значит, $c < 0$. Это соответствует варианту 2.

Занесём результаты в таблицу:

А — 1
Б — 3
В — 2

Ответ: 132

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой: $t_{F} = 1,8 t_{C} + 32$.

По условию нам известна температура по шкале Цельсия: $t_{C} = -25$. Чтобы найти соответствующее значение по шкале Фаренгейта ($t_{F}$), подставим это число в формулу вместо переменной $t_{C}$.

1) Сначала выполним умножение: $1,8 \cdot (-25)$.
При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
Вычислим: $1,8 \cdot 25 = 18 \cdot 2,5 = 45$.
Следовательно, $1,8 \cdot (-25) = -45$.

2) Теперь подставим полученный результат в основное выражение:
$t_{F} = -45 + 32$.

3) Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак того числа, модуль которого больше:
$45 - 32 = 13$.
Так как число $-45$ имеет больший модуль, итоговый результат будет отрицательным:
$t_{F} = -13$.

Таким образом, $-25$ градусов по шкале Цельсия соответствуют $-13$ градусам по шкале Фаренгейта.

Ответ: -13

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных промежутков.

Шаг 1. Решим первое неравенство системы: $x + 0{,}6 \leqslant 0$.
Перенесём число $0{,}6$ в правую часть неравенства, сменив его знак на противоположный:
$x \leqslant -0{,}6$.
Это означает, что нам подходят все числа, которые меньше или равны $-0{,}6$.

Шаг 2. Решим второе неравенство системы: $x - 1 \geqslant -4$.
Перенесём число $-1$ в правую часть неравенства со знаком «плюс»:
$x \geqslant -4 + 1$,
$x \geqslant -3$.
Это означает, что нам подходят все числа, которые больше или равны $-3$.

Шаг 3. Найдём общее решение (пересечение):
Мы получили два условия: $x \leqslant -0{,}6$ и $x \geqslant -3$.
Объединим их в двойное неравенство:
$-3 \leqslant x \leqslant -0{,}6$.
На числовой прямой этому условию соответствует промежуток от $-3$ до $-0{,}6$, включая концы (так как знаки неравенств нестрогие).

Запишем решение в виде интервала:
$x \in [-3; -0{,}6]$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Данный промежуток соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Данная задача описывает процесс изменения массы колонии микроорганизмов, который можно представить в виде геометрической прогрессии, так как масса увеличивается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Для начала определим, сколько раз произойдёт увеличение массы за указанное время. Общее время эксперимента составляет $60$ минут, а одно увеличение происходит каждые $20$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$60 : 20 = 3$ (раза).

2. Обозначим начальную массу колонии как $b_1 = 16$ мг.
Так как масса увеличивается в $3$ раза, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = 3$.

3. Проследим за изменением массы по этапам:
— Через 20 минут (1-е увеличение): $16 \cdot 3 = 48$ мг.
— Через 40 минут (2-е увеличение): $48 \cdot 3 = 144$ мг.
— Через 60 минут (3-е увеличение): $144 \cdot 3 = 432$ мг.

4. Также это можно вычислить по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии. Нам нужно найти массу после трёх периодов увеличения, что соответствует четвёртому члену последовательности $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = 16 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27$
Выполним умножение: $16 \cdot 27 = 432$.

Таким образом, через 60 минут масса колонии составит 432 мг.

Ответ: 432

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение: внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой же вершине.

2. На рисунке изображён треугольник $A B C$. Сторона $A C$ продлена за точку $C$, образуя прямую линию. Внутренний угол треугольника при вершине $C$ (угол $A C B$) и искомый внешний угол являются смежными.

3. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$. Таким образом, чтобы найти внешний угол, нужно из $180^\circ$ вычесть величину внутреннего угла.

4. По условию задачи внутренний угол $C$ равен $115^\circ$. Проведём вычисления:
$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

Таким образом, внешний угол при вершине $C$ равен $65^\circ$.

Ответ: 65

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и углов, опирающихся на диаметр окружности.

1) Рассмотрим треугольник $ANB$. По условию $AB$ является диаметром окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle ANB = 90^\circ$.

2) Теперь найдём величину угла $NAB$ в треугольнике $ANB$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle ANB = 90^\circ$ и $\angle NBA = 32^\circ$. Тогда:
$\angle NAB = 180^\circ - (\angle ANB + \angle NBA) = 180^\circ - (90^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

3) Заметим, что углы $NAB$ и $NMB$ являются вписанными углами одной и той же окружности. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $NB$.

4) По свойству вписанных углов: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Значит:
$\angle NMB = \angle NAB = 58^\circ$.

Таким образом, искомый угол $NMB$ равен $58^\circ$.

Ответ: 58

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

1. Запишем формулу площади трапеции:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$,
где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h$ — её высота.

2. Из условия задачи нам известны все необходимые величины:
основание $a = 3$,
основание $b = 5$,
высота $h = 9$.

3. Подставим данные значения в формулу:
$S = \frac{3 + 5}{2} \cdot 9$

4. Выполним вычисления по шагам:
Сначала найдём сумму оснований в числителе: $3 + 5 = 8$.
Затем разделим полученную сумму на 2: $\frac{8}{2} = 4$.
Теперь умножим результат на высоту: $4 \cdot 9 = 36$.

Таким образом, площадь трапеции равна 36.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся определением и свойствами средней линии треугольника.

1. Вспомним теорему: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. В условии задачи сказано, что нам нужно найти среднюю линию, параллельную стороне $A C$. Следовательно, её длина вычисляется по формуле:
$m = \frac{1}{2} \cdot AC$, где $m$ — искомая средняя линия.

2. Определим длину стороны $A C$: По рисунку видно, что сторона $A C$ расположена горизонтально вдоль линий сетки. Посчитаем количество клеток между вершинами $A$ и $C$.
Отсчитав клетки на рисунке, получаем: $AC = 6$ клеток.

3. Вычислим длину средней линии: Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, длина стороны $A C$ равна $6$. Подставим это значение в формулу:
$m = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, длина средней линии треугольника $A B C$, параллельной стороне $A C$, равна $3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.

1) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
Согласно свойству параллельных прямых на плоскости: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Например, если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$. Утверждение о том, что они перпендикулярны, является ложным.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Для существования треугольника должно выполняться "неравенство треугольника": сумма любых двух его сторон должна быть строго больше третьей стороны. Проверим это для данных сторон: $1 + 2 = 3$. Мы видим, что $3 < 4$, то есть сумма двух сторон меньше третьей. Следовательно, такой треугольник построить невозможно. Утверждение ложно.

3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Тогда на долю двух других (острых) углов приходится: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это утверждение является истинным.

Таким образом, верным является утверждение под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ