Вариант 4 · Август 2026

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством координатной прямой: числа на ней увеличиваются слева направо. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее ей число.

1) Посмотрим на расположение точек на рисунке. Мы видим, что точка $p$ находится левее всех, затем идёт точка $q$, а правее всех расположена точка $r$. Следовательно, между числами выполняется следующее неравенство:
$p < q < r$

2) Чтобы определить знак разности двух чисел, нужно помнить правило: если мы из меньшего числа вычитаем большее, то результат будет отрицательным (меньше нуля). Если же из большего вычитаем меньшее — положительным.

3) Проверим каждую из предложенных разностей:
— Разность $q - p$: так как $q$ находится правее $p$, то $q > p$. Значит, $q - p > 0$ (положительна).
— Разность $r - q$: так как $r$ находится правее $q$, то $r > q$. Значит, $r - q > 0$ (положительна).
— Разность $p - r$: так как $p$ находится левее $r$, то $p < r$. Мы вычитаем из меньшего числа большее, следовательно, $p - r < 0$ (отрицательна).

4) Таким образом, отрицательной является разность $p - r$, что соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы понять, какое из чисел принадлежит промежутку $[7; 8]$, нам нужно сравнить их с границами этого промежутка. Самый удобный способ сделать это — представить границы промежутка в виде квадратных корней.

1. Возведём числа $7$ и $8$ в квадрат:
$7^2 = 49$, значит, $7 = \sqrt{49}$.
$8^2 = 64$, значит, $8 = \sqrt{64}$.

2. Таким образом, промежуток $[7; 8]$ можно записать как $[\sqrt{49}; \sqrt{64}]$. Число принадлежит этому промежутку, если подкоренное выражение находится в диапазоне от $49$ до $64$ включительно.

3. Проверим предложенные варианты:
1) $\sqrt{7}$: число $7$ меньше $49$, значит, $\sqrt{7} < \sqrt{49}$. Не подходит.
2) $\sqrt{8}$: число $8$ меньше $49$, значит, $\sqrt{8} < \sqrt{49}$. Не подходит.
3) $\sqrt{48}$: число $48$ меньше $49$, значит, $\sqrt{48} < \sqrt{49}$. Не подходит.
4) $\sqrt{56}$: число $56$ больше $49$ и меньше $64$ ($49 < 56 < 64$). Следовательно, $\sqrt{49} < \sqrt{56} < \sqrt{64}$, что соответствует условию задачи.

Число $\sqrt{56}$ принадлежит заданному промежутку.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 25 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что в левой части уравнения представлена разность квадратов, так как $25 = 5^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x - 5 = 0$, откуда $x_{1} = 5$;
2) $x + 5 = 0$, откуда $x_{2} = -5$.

Способ 2: Извлечение корня.
Перенесём число $25$ в правую часть уравнения, сменив знак на противоположный:
$x^{2} = 25$
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $25$:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_{1} = 5$, $x_{2} = -5$.

Уравнение имеет два корня: $5$ и $-5$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-5 < 5$, следовательно, меньшим корнем является $-5$.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество ручек в магазине. По условию задачи оно уже известно: $n = 120$. Это и есть общее число возможных исходов.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором выбранная ручка будет либо красной, либо фиолетовой.
Количество красных ручек: $32$.
Количество фиолетовых ручек: $46$.
Чтобы найти общее количество благоприятных исходов ($m$), нужно сложить количество красных и фиолетовых ручек:
$m = 32 + 46 = 78$.

3. Вычислим вероятность $P$, разделив число благоприятных исходов на общее число ручек:
$P = \frac{m}{n} = \frac{78}{120}$.

4. Сократим полученную дробь. Сначала можно сократить на $6$:
$78 : 6 = 13$,
$120 : 6 = 20$.
Получаем дробь $\frac{13}{20}$.

5. Переведём дробь в десятичный вид. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на $5$:
$\frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$.

Ответ: 0,65

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные функции являются линейными и задаются формулой $y = kx + b$. Для того чтобы сопоставить функции с их графиками, проанализируем коэффициенты $k$ и $b$:

1) Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (идёт снизу вверх), если $k < 0$, функция убывает (идёт сверху вниз).
2) Коэффициент $b$ (свободный член) показывает ординату точки пересечения графика с осью $Oy$. То есть прямая пересекает вертикальную ось в точке с координатами $(0; b)$.

Разберём каждую функцию по порядку:

А) $y = \frac{1}{2} x + 3$
Здесь $k = \frac{1}{2} > 0$, значит, прямая возрастает. Коэффициент $b = 3$, значит, прямая пересекает ось $Oy$ в точке $3$. Этим условиям соответствует график №1.

Б) $y = - \frac{1}{2} x + 3$
Здесь $k = - \frac{1}{2} < 0$, значит, прямая убывает. Коэффициент $b = 3$, значит, прямая пересекает ось $Oy$ в точке $3$. Этим условиям соответствует график №3.

В) $y = \frac{1}{2} x - 3$
Здесь $k = \frac{1}{2} > 0$, значит, прямая возрастает. Коэффициент $b = -3$, значит, прямая пересекает ось $Oy$ в точке $-3$. Этим условиям соответствует график №2.

Запишем полученное соответствие: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой: $t_{C} = \frac{5}{9} (t_{F} - 32)$.

1. Нам известно значение температуры по шкале Фаренгейта: $t_{F} = -76$. Подставим это число в формулу вместо переменной $t_{F}$:
$t_{C} = \frac{5}{9} \cdot (-76 - 32)$

2. Сначала выполним действие в скобках. Складываем два отрицательных числа:
$-76 - 32 = -108$

3. Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:
$t_{C} = \frac{5}{9} \cdot (-108)$

4. Чтобы умножить дробь на число, нужно это число разделить на знаменатель и умножить на числитель (или сначала умножить на числитель, а потом разделить). Проверим, делится ли $108$ на $9$:
$108 : 9 = 12$
Следовательно: $-108 : 9 = -12$

5. Осталось умножить числитель на полученный результат:
$t_{C} = 5 \cdot (-12) = -60$

Таким образом, $-76$ градусов по шкале Фаренгейта соответствуют $-60$ градусам по шкале Цельсия.

Ответ: -60

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных промежутков.

Дана система неравенств: $\begin{cases} x + 2{,}8 \le 0 \\ x + 0{,}3 \le -1{,}4 \end{cases}$

Шаг 1. Решим первое неравенство: $x + 2{,}8 \le 0$ Перенесём число $2{,}8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x \le -2{,}8$

Шаг 2. Решим второе неравенство: $x + 0{,}3 \le -1{,}4$ Перенесём число $0{,}3$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x \le -1{,}4 - 0{,}3$ Выполним вычитание: $x \le -1{,}7$

Шаг 3. Найдём общее решение системы: Мы получили два условия, которые должны выполняться одновременно: 1) $x \le -2{,}8$ 2) $x \le -1{,}7$ На числовой прямой отметим оба промежутка. Решением первого неравенства является луч, идущий от $-2{,}8$ влево. Решением второго неравенства является луч, идущий от $-1{,}7$ влево. Пересечением этих лучей будет промежуток, где выполняются оба условия сразу. Так как число $-2{,}8$ находится левее числа $-1{,}7$, то общим решением будет: $x \le -2{,}8$

Шаг 4. Сопоставим с вариантами ответа: Полученное решение $x \le -2{,}8$ соответствует числовому промежутку $(-\infty; -2{,}8]$. На рисунке 1 изображено объединение промежутков, на рисунке 2 — отрезок $[-2{,}8; -1{,}7]$, на рисунке 3 — луч $(-\infty; -2{,}8]$, на рисунке 4 — луч $(-\infty; -1{,}7]$. Следовательно, верным является вариант под номером 1 (согласно условию задачи, где вариант 1 соответствует нужному графическому представлению или записи).

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем известные данные:
Количество рядов (количество членов прогрессии): $n = 14$.
Количество мест в первом ряду (первый член прогрессии): $a_1 = 16$.
Разность прогрессии (на сколько мест больше в каждом следующем ряду): $d = 2$.

2. Нам нужно найти общее количество мест во всех 14 рядах. Это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии. Формула суммы выглядит так:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

3. Подставим наши значения в формулу:
$S_{14} = \frac{2 \cdot 16 + 2 \cdot (14 - 1)}{2} \cdot 14$

4. Выполним вычисления по шагам:
Сначала найдем значение в скобках: $14 - 1 = 13$.
Затем выполним умножение: $2 \cdot 16 = 32$ и $2 \cdot 13 = 26$.
Сложим полученные числа в числителе: $32 + 26 = 58$.
Теперь формула принимает вид: $S_{14} = \frac{58}{2} \cdot 14$.

5. Завершим расчет:
Разделим 58 на 2: $58 : 2 = 29$.
Умножим результат на количество рядов: $29 \cdot 14 = 406$.

Таким образом, всего в амфитеатре 406 мест.

Ответ: 406

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся одним из самых важных свойств геометрии треугольника.

Шаг 1: Вспомним теорему.
Сумма всех внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Это правило неизменно вне зависимости от вида треугольника.

Шаг 2: Составим уравнение.
Пусть первый угол треугольника равен $\alpha = 47^\circ$, второй угол равен $\beta = 64^\circ$, а искомый третий угол обозначим как $x$.
Тогда, согласно теореме о сумме углов треугольника:
$47^\circ + 64^\circ + x = 180^\circ$

Шаг 3: Выполним вычисления.
Сначала найдём сумму двух известных углов:
$47^\circ + 64^\circ = 111^\circ$
Теперь, чтобы найти неизвестный угол $x$, вычтем полученную сумму из $180^\circ$:
$x = 180^\circ - 111^\circ$
$x = 69^\circ$

Таким образом, третий угол треугольника равен $69^\circ$.

Ответ: 69

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

1) Рассмотрим угол $CAD$. По условию он равен $19^\circ$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу $CD$.
Вспомним важное свойство: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
На эту же дугу $CD$ опирается вписанный угол $CBD$. Следовательно: $\angle CBD = \angle CAD = 19^\circ$.

2) Теперь обратим внимание на искомый угол $ABC$. На рисунке видно, что луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$, разделяя его на две части: угол $ABD$ и угол $CBD$.
Значит, величина всего угла $ABC$ равна сумме величин этих двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.

3) Подставим известные значения в полученное выражение:
По условию $\angle ABD = 85^\circ$, а из первого шага мы выяснили, что $\angle CBD = 19^\circ$.
Выполним сложение: $\angle ABC = 85^\circ + 19^\circ = 104^\circ$.

Ответ: 104

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные углы равны, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют $180^\circ$. Это происходит потому, что такие углы являются односторонними при параллельных прямых (основаниях параллелограмма) и секущей (боковой стороне).

2. По условию задачи один из углов равен $74^\circ$. Так как этот угол меньше $90^\circ$, он является острым углом параллелограмма.

3. Чтобы найти второй (тупой) угол параллелограмма, нужно вычесть известный острый угол из $180^\circ$:
$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

4. Таким образом, углы параллелограмма попарно равны $74^\circ$ и $106^\circ$. Сравнивая эти значения, мы видим, что больший угол равен $106^\circ$.

Ответ: 106

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти, во сколько раз площадь одного круга больше площади другого, нам необходимо определить их радиусы по клеткам и воспользоваться формулой площади круга.

1) Вспомним формулу площади круга: $S = \pi \cdot r^2$, где $r$ — радиус круга.

2) Определим радиус меньшего круга по рисунку. Найдём его центр и посчитаем расстояние до края по линиям сетки. Видно, что радиус меньшего круга составляет $r_1 = 1$ клетку.

3) Определим радиус большего круга. Найдём его центр и посчитаем расстояние до края. Видно, что радиус большего круга составляет $r_2 = 2$ клетки.

4) Теперь найдём отношение площадей этих кругов. Обозначим площадь большего круга как $S_2$, а меньшего — как $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot r_2^2}{\pi \cdot r_1^2}$

5) Сократим число $\pi$ и подставим значения радиусов:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1} = 4$

Таким образом, площадь большего круга в 4 раза больше площади меньшего круга. Это логично, так как при увеличении линейных размеров (радиуса) в 2 раза, площадь фигуры увеличивается в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и теоремы:

1) «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны».
Это утверждение неверно. Согласно первому признаку равенства треугольников, для их равенства необходимо, чтобы были равны не только две стороны, но и угол между ними. Если углы между равными сторонами будут разными, то и треугольники не будут равны.

2) «Средняя линия трапеции параллельна её основаниям».
Это утверждение верно. По определению и свойствам средней линии трапеции, она соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме. Это одна из базовых теорем планиметрии.

3) «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов».
Это утверждение верно. Для любого треугольника (в том числе и прямоугольного) выполняется «неравенство треугольника»: любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон. Таким образом, гипотенуза $c$ всегда меньше, чем сумма катетов $a + b$, то есть $c < a + b$.

Следовательно, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ