Вариант 7 · Август 2026

Решение.

Чтобы понять, какое из десятичных чисел находится между обыкновенными дробями $\frac{9}{19}$ и $\frac{5}{9}$, нам нужно перевести эти дроби в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель «уголком» до второго или третьего знака после запятой.

1) Найдём десятичное приближение для дроби $\frac{9}{19}$:
Разделим $9$ на $19$:
$9 : 19 \approx 0,473...$
Значит, левая граница нашего промежутка примерно равна $0,47$.

2) Найдём десятичное приближение для дроби $\frac{5}{9}$:
Разделим $5$ на $9$:
$5 : 9 = 0,555...$
Значит, правая граница нашего промежутка примерно равна $0,55$ (или $0,5(5)$ в периоде).

3) Теперь запишем полученный интервал: число $x$ должно удовлетворять условию:
$0,473... < x < 0,555...$

4) Проверим предложенные варианты ответов:
1) $0,2$ — меньше, чем $0,473$. Не подходит.
2) $0,3$ — меньше, чем $0,473$. Не подходит.
3) $0,4$ — меньше, чем $0,473$. Не подходит.
4) $0,5$ — это число больше $0,473$ и меньше $0,555$. Оно попадает в нужный интервал.

Таким образом, между числами $\frac{9}{19}$ и $\frac{5}{9}$ заключено число $0,5$, что соответствует варианту № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся основными свойствами степеней.

1. Сначала упростим вторую часть выражения: $\left( 11^{3} \right)^{2}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются. Воспользуемся формулой $\left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m}$:
$\left( 11^{3} \right)^{2} = 11^{3 \cdot 2} = 11^{6}$.

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$11^{-5} \cdot 11^{6}$.

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Воспользуемся формулой $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$:
$11^{-5} \cdot 11^{6} = 11^{-5 + 6}$.

4. Выполним сложение в показателе степени:
$-5 + 6 = 1$.
Следовательно, получаем:
$11^{1} = 11$.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ

Решение.

Перед нами неполное квадратное уравнение вида $4x^{2} = 20x$. Решим его по шагам.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения квадратного уравнения перенесём слагаемое $20x$ из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался ноль:
$4x^{2} - 20x = 0$

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель. Мы можем вынести за скобки $4x$:
$4x \cdot (x - 5) = 0$

Шаг 3. Нахождение корней.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $4x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.

Шаг 4. Выбор ответа.
Уравнение имеет два корня: $0$ и $5$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$0 < 5$, следовательно, меньший корень — это $0$.

Ответ: 0

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество исходов. По условию задачи всего на экзамене $40$ билетов. Значит, общее число исходов $n = 40$.

2) Теперь определим количество благоприятных исходов. Нам нужно найти вероятность того, что Яше попадётся выученный билет. Известно, что он не выучил $4$ билета. Чтобы найти количество выученных билетов, вычтем из общего числа билетов те, которые он не знает:
$40 - 4 = 36$.
Таким образом, количество благоприятных исходов $m = 36$.

3) Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{36}{40}$

4) Сократим дробь на $4$:
$P = \frac{9}{10}$
Переведём обыкновенную дробь в десятичную:
$P = 0,9$

Ответ: 0,9

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные функции являются линейными и задаются формулой $y = kx + b$. Для того чтобы сопоставить функции с графиками, проанализируем коэффициенты $k$ и $b$:

1) Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (идёт снизу вверх), если $k < 0$, функция убывает (идёт сверху вниз).
2) Коэффициент $b$ (свободный член) показывает ординату точки пересечения графика с осью $Oy$. То есть прямая пересекает вертикальную ось в точке с координатами $(0; b)$.

Разберём каждую функцию:

А) $y = -2x - 4$
Здесь $k = -2$ (меньше нуля, значит прямая убывает) и $b = -4$. График должен пересекать ось $Oy$ в точке $-4$. Этим условиям соответствует график №1.

Б) $y = -2x + 4$
Здесь $k = -2$ (прямая убывает) и $b = 4$. График должен пересекать ось $Oy$ в точке $+4$. Этим условиям соответствует график №2.

В) $y = 2x - 4$
Здесь $k = 2$ (больше нуля, значит прямая возрастает) и $b = -4$. График должен пересекать ось $Oy$ в точке $-4$. Этим условиям соответствует график №3.

Таким образом, получаем соответствие: А — 1, Б — 2, В — 3.

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой потенциальной энергии: $E_p = mgh$.

Выпишем значения величин, которые нам известны из условия задачи:
1) Потенциальная энергия $E_p = 392$ Дж;
2) Высота $h = 2$ м;
3) Ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с².

Нам необходимо найти массу тела $m$. Для этого выразим $m$ из исходной формулы:
$m = \frac{E_p}{g \cdot h}$

Подставим известные числовые значения в полученное выражение:
$m = \frac{392}{9,8 \cdot 2}$

Выполним вычисления по шагам:
1) Сначала перемножим числа в знаменателе: $9,8 \cdot 2 = 19,6$.
2) Теперь разделим значение энергии на полученный результат: $m = \frac{392}{19,6}$.
Чтобы было удобнее делить, перенесем запятую в числителе и знаменателе на один знак вправо: $m = \frac{3920}{196}$.

Заметим, что число 392 ровно в два раза больше, чем 196 ($196 \cdot 2 = 392$). Следовательно:
$m = 20$

Таким образом, масса тела равна 20 кг.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить линейное неравенство $- 3 - 3 x > 7 x - 9$, будем придерживаться стандартного алгоритма: перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую.

Шаг 1. Перенесём $7 x$ из правой части в левую с противоположным знаком, а число $- 3$ из левой части в правую также с противоположным знаком:
$- 3 x - 7 x > - 9 + 3$

Шаг 2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$- 10 x > - 6$

Шаг 3. Теперь нам нужно найти $x$. Для этого разделим обе части неравенства на коэффициент перед $x$, то есть на $- 10$.
Важное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (был $>$, станет $<$).
$x < \frac{- 6}{- 10}$

Шаг 4. Выполним деление:
$x < 0,6$

Шаг 5. Запишем полученный результат в виде числового промежутка. Условие $x < 0,6$ означает, что нам подходят все числа, лежащие левее $0,6$ на числовой прямой, то есть от минус бесконечности до $0,6$.
$x \in \left( - \infty ; 0,6 \right)$

Данный промежуток соответствует варианту № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое поезд проходит за каждую секунду, увеличивается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний, пройденных за каждую секунду, является арифметической прогрессией.

Выпишем известные нам данные:
1) Расстояние за первую секунду: $a_1 = 0,2$ м.
2) Разность прогрессии (на сколько увеличивается путь каждую секунду): $d = 0,6$ м.
3) Время движения: $n = 7$ секунд.

Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 7 секунд. Это сумма первых семи членов арифметической прогрессии $S_7$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_7 = \frac{2 \cdot 0,2 + 0,6 \cdot (7 - 1)}{2} \cdot 7$

Выполним вычисления по шагам:
1) Найдём произведение в числителе: $2 \cdot 0,2 = 0,4$.
2) Вычислим значение в скобках: $7 - 1 = 6$.
3) Умножим разность на это значение: $0,6 \cdot 6 = 3,6$.
4) Сложим полученные числа в числителе: $0,4 + 3,6 = 4,0$.
5) Разделим на 2: $4,0 : 2 = 2$.
6) Умножим результат на количество секунд: $2 \cdot 7 = 14$.

Таким образом, за первые 7 секунд поезд прошёл 14 метров.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся одной из самых важных теорем геометрии — теоремой о сумме углов треугольника.

1) Согласно теореме, сумма всех внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Это значит, что если мы сложим первый, второй и третий углы, то в результате получим $180^\circ$.

2) Нам известны два угла треугольника: $72^\circ$ и $42^\circ$. Сначала найдём их сумму:
$72^\circ + 42^\circ = 114^\circ$.

3) Чтобы найти величину третьего угла, нужно из общей суммы углов треугольника ($180^\circ$) вычесть сумму двух уже известных нам углов:
$180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

Таким образом, третий угол треугольника равен $66^\circ$.

Ответ: 66

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

1) Рассмотрим угол $CAD$. По условию он равен $19^\circ$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу $CD$.
Вспомним важное свойство: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
На эту же дугу $CD$ опирается вписанный угол $CBD$. Следовательно: $\angle CBD = \angle CAD = 19^\circ$.

2) Теперь обратим внимание на искомый угол $ABC$. На рисунке видно, что луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$, разделяя его на две части: угол $ABD$ и угол $CBD$.
Значит, величина всего угла $ABC$ равна сумме величин этих двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.

3) Подставим известные значения в полученное выражение:
По условию $\angle ABD = 85^\circ$, а из первого шага мы выяснили, что $\angle CBD = 19^\circ$.
Выполним сложение: $\angle ABC = 85^\circ + 19^\circ = 104^\circ$.

Ответ: 104

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Пусть $CH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$, проведённая из вершины $C$ к большему основанию $AD$. По условию задачи высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$, следовательно, меньший отрезок $HD = 8$, а больший отрезок $AH = 18$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин малого основания на большое, отсекают равные прямоугольные треугольники ($\triangle ABK = \triangle DCH$ по гипотенузе и острому углу). Отсюда следует, что отрезки при вершинах большего основания равны: $AK = HD = 8$.

3) Рассмотрим отрезок $AH$. Он состоит из суммы двух отрезков: $AK$ и $KH$. Мы знаем, что $AH = 18$ и $AK = 8$. Найдём длину отрезка $KH$:
$KH = AH - AK = 18 - 8 = 10$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, длина верхнего основания $BC$ равна длине отрезка $KH$:
$BC = KH = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Решение.

Для нахождения площади ромба, изображённого на клетчатой бумаге, удобнее всего воспользоваться формулой через его диагонали. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.

1) Сначала найдём длину горизонтальной диагонали. Посчитаем количество клеток между левой и правой вершинами ромба. Горизонтальная диагональ занимает $4$ клетки. Так как размер клетки $1 \times 1$, то её длина $d_1 = 4$.

2) Теперь найдём длину вертикальной диагонали. Посчитаем количество клеток между верхней и нижней вершинами ромба. Вертикальная диагональ занимает $6$ клеток. Значит, её длина $d_2 = 6$.

3) Подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6$

$S = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, площадь ромба равна $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.

1) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Это утверждение неверно. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, он как минимум должен быть параллелограммом. Существуют четырёхугольники (например, произвольный равнобедренный делетоид), у которых диагонали равны и перпендикулярны, но стороны не параллельны и не равны между собой. Чтобы фигура была квадратом, диагонали должны не только быть равны и перпендикулярны, но и точкой пересечения делиться пополам.

2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Это утверждение верно. Сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Следовательно, на сумму двух оставшихся (острых) углов приходится: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

3) Смежные углы всегда равны.
Это утверждение неверно. По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Они равны между собой только в одном частном случае — когда оба угла прямые (по $90^\circ$). В остальных случаях один из смежных углов острый, а другой — тупой.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ