Вариант 2 · Сентябрь 2026

Решение.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится корень из некоторого числа, нужно сравнить подкоренное выражение с квадратами последовательных целых чисел.

1. Вспомним таблицу квадратов для чисел, представленных в вариантах ответа. Нам нужно найти такие два соседних числа, квадраты которых окружают число $89$.
2. Проверим вариант №3, где даны числа $9$ и $10$:
— Возведём число $9$ в квадрат: $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$.
— Возведём число $10$ в квадрат: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

3. Мы видим, что число $89$ находится в промежутке между $81$ и $100$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$81 < 89 < 100$

4. Теперь извлечём квадратный корень из каждой части неравенства:
$\sqrt{81} < \sqrt{89} < \sqrt{100}$
$9 < \sqrt{89} < 10$

5. Таким образом, число $\sqrt{89}$ действительно заключено между числами $9$ и $10$. Это соответствует варианту под номером 3.

Для уверенности проверим остальные варианты:
— Вариант 1: $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Число $89$ не входит в этот промежуток.
— Вариант 2: $29^2 = 841$, что уже значительно больше $89$.
— Вариант 4: $88$ и $90$ — это сами числа, а не их корни. Квадрат $88$ — это очень большое число.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами степеней с одинаковым основанием.

1. Сначала упростим числитель дроби. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$.
В нашем случае: $a^{16} \cdot a^{-7} = a^{16 + (-7)} = a^{16 - 7} = a^{9}$.

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $\frac{a^{9}}{a^{6}}$.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$.
Получаем: $\frac{a^{9}}{a^{6}} = a^{9 - 6} = a^{3}$.

3. Таким образом, исходное выражение упростилось до $a^{3}$. Теперь подставим значение $a = 3$, данное в условии задачи:
$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 81 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что число $81$ — это $9^{2}$. Уравнение принимает вид:
$x^{2} - 9^{2} = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 9)(x + 9) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x - 9 = 0 \Rightarrow x_{1} = 9$;
2) $x + 9 = 0 \Rightarrow x_{2} = -9$.

Способ 2: Перенос слагаемого.
Перенесём число $-81$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^{2} = 81$.
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $81$:
$x = \pm \sqrt{81}$;
$x_{1} = 9$, $x_{2} = -9$.

Выбор ответа:
Уравнение имеет два корня: $9$ и $-9$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-9 < 9$.
Следовательно, меньшим корнем является $-9$.

Ответ: -9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству всех возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество исходов. Так как всего закуплено 20 пазлов и они распределяются между 20 детьми, то Васе может достаться любой из этих 20 пазлов. Значит, общее число исходов $n = 20$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором Васе достанется пазл с машиной. По условию задачи пазлов с машинами всего 8. Значит, количество благоприятных исходов $m = 8$.

3. Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{8}{20}$

4. Сократим дробь на 4:
$\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

5. Переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Таким образом, вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной, составляет 0,4.

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные графики являются прямыми линиями, которые задаются формулой линейной функции $y = kx + b$. Чтобы соотнести графики с формулами, проанализируем коэффициенты $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой: если $k > 0$, прямая возрастает (идёт снизу вверх); если $k < 0$, прямая убывает (идёт сверху вниз).
• Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. То есть прямая пересекает вертикальную ось в точке $(0; b)$.

1) Анализ формул:
1. $y = -\frac{2}{3}x + 4$: здесь $k = -\frac{2}{3}$ (убывает), $b = 4$ (пересекает $Oy$ в точке $4$).
2. $y = \frac{2}{3}x - 4$: здесь $k = \frac{2}{3}$ (возрастает), $b = -4$ (пересекает $Oy$ в точке $-4$).
3. $y = \frac{2}{3}x + 4$: здесь $k = \frac{2}{3}$ (возрастает), $b = 4$ (пересекает $Oy$ в точке $4$).

2) Сопоставление с графиками:
График А: Прямая возрастает ($k > 0$) и пересекает ось $Oy$ в отрицательной области, в точке $-4$. Это соответствует формуле №2.
График Б: Прямая возрастает ($k > 0$) и пересекает ось $Oy$ в положительной области, в точке $4$. Это соответствует формуле №3.
График В: Прямая убывает ($k < 0$) и пересекает ось $Oy$ в положительной области, в точке $4$. Это соответствует формуле №1.

Запишем полученное соответствие в таблицу:
А — 2
Б — 3
В — 1

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой силы Архимеда, которая дана в условии: $F = \rho g V$.

1. Выпишем значения всех величин, известных из условия задачи:
Плотность воды: $\rho = 1000$ $кг/м^3$;
Ускорение свободного падения: $g = 9,8$ $м/с^2$;
Объём тела: $V = 0,05$ $м^3$.

2. Подставим данные значения в формулу:
$F = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,05$

3. Выполним вычисления по шагам. Сначала умножим плотность на ускорение свободного падения:
$1000 \cdot 9,8 = 9800$

4. Теперь умножим полученный результат на объём тела:
$9800 \cdot 0,05$

Для удобства вычисления можно представить $0,05$ как $\frac{5}{100}$:
$9800 \cdot \frac{5}{100} = 98 \cdot 5$

5. Найдём конечное значение силы:
$98 \cdot 5 = 490$

Таким образом, сила Архимеда равна $490$ ньютонам.

Ответ: 490

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения неравенства $5x - 2(2x - 8) < -5$ выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки в левой части неравенства. Помним, что при умножении числа $-2$ на каждое слагаемое внутри скобок знаки меняются на противоположные:
$5x - 4x + 16 < -5$

2. Приведём подобные слагаемые в левой части:
$(5x - 4x) + 16 < -5$
$x + 16 < -5$

3. Перенесём число 16 из левой части в правую, сменив его знак на противоположный:
$x < -5 - 16$
$x < -21$

4. Запишем результат в виде интервала. Неравенство строгое (знак $<$), значит, точка $-21$ не входит в решение, и мы используем круглую скобку. Решением являются все числа, которые меньше $-21$, то есть промежуток от минус бесконечности до $-21$:
$x \in (-\infty; -21)$

Данный результат соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Данная задача описывает процесс изменения массы колонии микроорганизмов, который можно представить в виде геометрической прогрессии, так как масса увеличивается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Для начала определим, сколько раз произойдёт увеличение массы за указанное время. Общее время эксперимента составляет $60$ минут, а одно увеличение происходит каждые $20$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$60 : 20 = 3$ (раза).

2. Обозначим начальную массу колонии как $b_1 = 16$ мг.
Так как масса увеличивается в $3$ раза, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = 3$.

3. Проследим за изменением массы по этапам:
— Через 20 минут (1-е увеличение): $16 \cdot 3 = 48$ мг.
— Через 40 минут (2-е увеличение): $48 \cdot 3 = 144$ мг.
— Через 60 минут (3-е увеличение): $144 \cdot 3 = 432$ мг.

4. Также это можно вычислить по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии. Нам нужно найти массу после трёх периодов увеличения, что соответствует четвёртому члену последовательности $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = 16 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27$
Выполним умножение: $16 \cdot 27 = 432$.

Таким образом, через 60 минут масса колонии составит 432 мг.

Ответ: 432

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая применяется для прямоугольных треугольников. На рисунке изображён прямоугольный треугольник, у которого известны длины двух катетов.

Шаг 1. Вспомним формулировку теоремы Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Математически это записывается так: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Шаг 2. Подставим известные значения катетов в формулу. По условию задачи катеты равны $7$ и $24$. Пусть $a = 7$, а $b = 24$. Тогда: $7^2 + 24^2 = c^2$.

Шаг 3. Выполним возведение в квадрат: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$; $24^2 = 24 \cdot 24 = 576$.

Шаг 4. Сложим полученные результаты: $49 + 576 = 625$. Таким образом, $c^2 = 625$.

Шаг 5. Чтобы найти гипотенузу $c$, нужно извлечь квадратный корень из полученного числа: $c = \sqrt{625}$. Так как $25 \cdot 25 = 625$, то $c = 25$.

Следовательно, гипотенуза треугольника равна 25.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ

Решение.

1) По условию задачи центр описанной окружности лежит на стороне $A B$ треугольника $A B C$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром данной окружности.

2) Вспомним важное свойство геометрии: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Угол $C$ (или $\angle ACB$) опирается на дугу, стягиваемую диаметром $A B$, следовательно, $\angle ACB = 90^{\circ}$. Значит, треугольник $A B C$ — прямоугольный с гипотенузой $A B$.

3) Найдём длину гипотенузы $A B$. Так как $A B$ — диаметр, а радиус окружности $R = 8,5$, то:
$A B = 2 \cdot R = 2 \cdot 8,5 = 17$.

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$. Нам известна гипотенуза $A B = 17$ и катет $A C = 8$. Чтобы найти второй катет $B C$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$A C^2 + B C^2 = A B^2$.

5) Подставим известные значения в формулу:
$8^2 + B C^2 = 17^2$
$64 + B C^2 = 289$
$B C^2 = 289 - 64$
$B C^2 = 225$
$B C = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Вспомним свойства равнобедренной трапеции:
— Углы при каждом основании равны. То есть два острых угла при нижнем основании равны между собой, и два тупых угла при верхнем основании также равны между собой.
— Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, всегда равна $180^\circ$ (так как это односторонние углы при параллельных прямых-основаниях и секущей-боковой стороне).

2) Нам дана сумма двух углов, равная $218^\circ$. Поймём, какие это могут быть углы:
— Это не могут быть углы при боковой стороне, так как их сумма должна быть $180^\circ$.
— Это не могут быть два острых угла, так как их сумма была бы меньше $180^\circ$ (каждый острый угол меньше $90^\circ$).
— Значит, $218^\circ$ — это сумма двух равных тупых углов при верхнем основании трапеции.

3) Найдем величину одного тупого угла:
$218^\circ : 2 = 109^\circ$.

4) Теперь найдем меньший (острый) угол трапеции. Так как сумма острого и тупого углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, вычтем из этой суммы известный тупой угол:
$180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$.

Таким образом, меньший угол трапеции равен $71^\circ$.

Ответ: 71

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти, во сколько раз площадь одного круга больше площади другого, нам необходимо определить их радиусы по клеткам и воспользоваться формулой площади круга.

1) Вспомним формулу площади круга: $S = \pi \cdot r^2$, где $r$ — радиус круга.

2) Определим радиус меньшего круга по рисунку. Найдём его центр и посчитаем расстояние до края по линиям сетки. Видно, что радиус меньшего круга составляет $r_1 = 1$ клетку.

3) Определим радиус большего круга. Найдём его центр и посчитаем расстояние до края. Видно, что радиус большего круга составляет $r_2 = 2$ клетки.

4) Теперь найдём отношение площадей этих кругов. Обозначим площадь большего круга как $S_2$, а меньшего — как $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot r_2^2}{\pi \cdot r_1^2}$

5) Сократим число $\pi$ и подставим значения радиусов:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1} = 4$

Таким образом, площадь большего круга в 4 раза больше площади меньшего круга. Это логично, так как при увеличении линейных размеров (радиуса) в 2 раза, площадь фигуры увеличивается в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны».
Вспомним определение: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Одно из свойств квадрата гласит, что его диагонали пересекаются под прямым углом (то есть они взаимно перпендикулярны). Поскольку квадрат является частным случаем прямоугольника, такое утверждение верно. Существует как минимум один вид прямоугольника (квадрат), обладающий этим свойством.
Утверждение № 1 — истинно.

2) «Все квадраты имеют равные площади».
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Очевидно, что квадраты могут иметь разные стороны (например, со стороной $2$ и со стороной $5$). Тогда их площади будут равны $4$ и $25$ соответственно. Площади квадратов равны только в том случае, если равны их стороны.
Утверждение № 2 — ложно.

3) «Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов».
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Предположим обратное: что все три угла треугольника больше $60^\circ$. В таком случае их сумма была бы больше, чем $60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, что невозможно. Следовательно, хотя бы один угол обязан быть меньше или равен $60^\circ$ (не превышать $60^\circ$). Например, в равностороннем треугольнике все углы равны ровно $60^\circ$, а в прямоугольном с углами $30^\circ$ и $60^\circ$ условие также выполняется.
Утверждение № 3 — истинно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ