Вариант 3 · Сентябрь 2026

Решение.

Для того чтобы определить, какой точке соответствует число $\sqrt{85}$, нам нужно сравнить это число с целыми числами, отмеченными на координатной прямой: $9$, $10$ и $11$.

1. Представим целые числа в виде квадратных корней:
Число $9$ — это $\sqrt{9^2} = \sqrt{81}$.
Число $10$ — это $\sqrt{10^2} = \sqrt{100}$.
Число $11$ — это $\sqrt{11^2} = \sqrt{121}$.

2. Теперь определим положение числа $\sqrt{85}$ относительно этих границ:
Так как $81 < 85 < 100$, то справедливо неравенство:
$\sqrt{81} < \sqrt{85} < \sqrt{100}$, то есть $9 < \sqrt{85} < 100$.
Это означает, что искомая точка находится в промежутке между $9$ и $10$. На данном промежутке расположены две точки: $A$ и $B$.

3. Уточним положение точки. Сравним $85$ с числами $81$ и $100$:
Разность $85 - 81 = 4$.
Разность $100 - 85 = 15$.
Число $85$ гораздо ближе к $81$, чем к $100$. Следовательно, значение $\sqrt{85}$ находится ближе к числу $9$, чем к числу $10$.

4. Посмотрим на рисунок: точка $A$ расположена ближе к числу $9$, а точка $B$ — ближе к числу $10$. Таким образом, числу $\sqrt{85}$ соответствует точка $A$.

Данная точка указана в варианте под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, удобнее всего привести все числа к одному основанию. Заметим, что число $27$ является степенью тройки.

1. Представим число $27$ в виде степени с основанием $3$:
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3}$.

2. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{3^{5}}{27} = \frac{3^{5}}{3^{3}}$.

3. Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: при делении основание остаётся прежним, а показатели вычитаются ($\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$):
$\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5-3} = 3^{2}$.

4. Вычислим итоговое значение:
$3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного линейного уравнения выполним следующие шаги:

1. Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого умножим число $4$ на каждое слагаемое внутри скобок:

$4 \cdot x + 4 \cdot 1 = 9$

$4x + 4 = 9$

2. Теперь перенесём известное слагаемое $4$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$4x = 9 - 4$

$4x = 5$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение $5$ на известный множитель $4$:

$x = \frac{5}{4}$

4. Переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно разделить $5$ на $4$ столбиком или домножить числитель и знаменатель на $25$, чтобы в знаменателе получилось $100$:

$x = \frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100} = 1,25$

Ответ: 1,25

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём количество исправных фонариков. По условию, из общего числа в $150$ штук неисправными являются $6$. Значит, исправных фонариков:
$150 - 6 = 144$ (штуки).

2) Общее число возможных исходов — это общее количество фонариков, то есть $n = 150$.
Количество благоприятных исходов (выбор исправного фонарика) — это $m = 144$.

3) Вычислим вероятность $P$ того, что выбранный фонарик окажется исправен, по формуле:
$P = \frac{m}{n} = \frac{144}{150}$

4) Сократим дробь. Можно сначала сократить на $6$:
$144 : 6 = 24$
$150 : 6 = 25$
Получаем дробь $\frac{24}{25}$.

5) Переведём полученный результат в десятичную дробь. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на $4$:
$\frac{24 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{96}{100} = 0,96$

Ответ: 0,96

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем вид каждой функции и характерную форму её графика.

1) Рассмотрим формулу $y = \frac{2}{x}$. Это функция обратной пропорциональности. Графиком такой функции является гипербола, которая состоит из двух ветвей и не проходит через начало координат (так как на ноль делить нельзя). На рисунках мы видим гиперболу под буквой В. Проверим точку: если $x = 1$, то $y = 2/1 = 2$; если $x = 2$, то $y = 2/2 = 1$. Это соответствует графику В. Таким образом, В → 1.

2) Рассмотрим формулу $y = 2x$. Это линейная функция. Графиком линейной функции является прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. На рисунках прямая изображена под буквой Б. Проверим точку: если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(1; 2)$ лежит на этой прямой. Таким образом, Б → 2.

3) Рассмотрим формулу $y = x^{2}$. Это квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. На рисунках парабола (ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0; 0)$) изображена под буквой А. Проверим точку: если $x = 1$, то $y = 1^{2} = 1$; если $x = 2$, то $y = 2^{2} = 4$. Это соответствует графику А. Таким образом, А → 3.

Запишем итоговое соответствие:
А → 3
Б → 2
В → 1

Ответ: 321

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо воспользоваться данной в условии формулой перевода температуры из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта: $t_{F} = 1,8 t_{C} + 32$.

1. Из условия задачи нам известно значение температуры по шкале Цельсия: $t_{C} = 100$.

2. Чтобы найти соответствующее значение по шкале Фаренгейта ($t_{F}$), подставим известное число $100$ в формулу вместо переменной $t_{C}$:
$t_{F} = 1,8 \cdot 100 + 32$.

3. Выполним умножение. При умножении десятичной дроби на $100$ запятая переносится на два знака вправо:
$1,8 \cdot 100 = 180$.

4. Теперь прибавим к полученному результату число $32$:
$180 + 32 = 212$.

Таким образом, $100$ градусов по шкале Цельсия соответствуют $212$ градусам по шкале Фаренгейта.

Ответ: 212

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 25 < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения: $x^{2} - 25 = 0$.
Перенесём число $25$ в правую часть: $x^{2} = 25$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 5$ и $x_{2} = -5$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$.
Так как неравенство строгое (знак $<$), сами точки $-5$ и $5$ не входят в решение (на графике они будут "выколотыми").

3. Определим знак выражения $x^{2} - 25$ на каждом интервале:
— На интервале $(5; +\infty)$: возьмём $x = 6$, тогда $6^{2} - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$.
— На интервале $(-5; 5)$: возьмём $x = 0$, тогда $0^{2} - 25 = -25 < 0$.
— На интервале $(-\infty; -5)$: возьмём $x = -6$, тогда $(-6)^{2} - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$.

4. Нам нужно найти те значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($< 0$). Этому условию соответствует средний интервал: $(-5; 5)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Данная задача относится к теме «Геометрическая прогрессия», так как масса изотопа изменяется в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Определим количество циклов распада. По условию масса уменьшается вдвое каждые $7$ минут. Нам нужно узнать, что произойдет через $42$ минуты.
Разделим общее время на период полураспада:
$n = 42 : 7 = 6$ (раз).
Это значит, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $6$ раз.

2. Составим последовательность значений массы.
Пусть $b_1 = 640$ мг — начальная масса изотопа.
Так как масса уменьшается вдвое, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).

3. Нам нужно найти массу после 6-го уменьшения. В терминах прогрессии это будет её 7-й член (так как $b_1$ — это масса в момент времени 0, $b_2$ — через 7 минут и так далее).
Воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_{n+1} = b_1 \cdot q^n$, где $n$ — количество циклов распада.
В нашем случае:
$b_7 = 640 \cdot (\frac{1}{2})^6$.

4. Выполним вычисления:
Возведем $\frac{1}{2}$ в шестую степень:
$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим начальную массу на полученный результат:
$640 \cdot \frac{1}{64} = \frac{640}{64} = 10$ (мг).

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $A B$ и $B C$ соответственно.

2. Вспомним определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией этого треугольника. Следовательно, отрезок $M N$ — средняя линия треугольника $A B C$.

3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В нашем случае средняя линия $M N$ параллельна стороне $A C$ и её длина вычисляется по формуле:
$M N = \frac{1}{2} \cdot A C$.

4. Нам известны длины всех сторон треугольника: $A B = 31$, $B C = 27$, $A C = 40$. Для нахождения средней линии $M N$ нам понадобится только длина стороны $A C$, так как именно ей параллелен отрезок $M N$.

5. Подставим значение $A C$ в формулу:
$M N = \frac{40}{2} = 20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим углы при центре окружности. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как они образованы пересекающимися прямыми (диаметрами) $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов:
$\angle BOC = \angle AOD = 86^\circ$.

2) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точки $B$ и $C$ лежат на окружности, а точка $O$ является её центром. Следовательно, отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности.
Так как $OB = OC$, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$ (угол $\angle OCB$ — это тот же самый угол $\angle ACB$, который нам нужно найти).

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ запишем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.
Подставим известные значения и равенство углов:
$86^\circ + 2 \cdot \angle ACB = 180^\circ$.

5) Решим полученное уравнение:
$2 \cdot \angle ACB = 180^\circ - 86^\circ$;
$2 \cdot \angle ACB = 94^\circ$;
$\angle ACB = 94^\circ : 2$;
$\angle ACB = 47^\circ$.

Ответ: 47

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение и свойства фигуры. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, он обладает всеми его свойствами.

2. Одно из важных свойств параллелограмма (и ромба в том числе) заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Это объясняется тем, что эти углы являются односторонними при параллельных прямых (содержащих противоположные стороны ромба) и секущей (стороне ромба).

3. По условию задачи один из углов ромба равен $104^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым углом ромба.

4. Чтобы найти второй (острый) угол ромба, нужно из $180^\circ$ вычесть известный угол:
$180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.

5. У ромба четыре угла: два из них равны $104^\circ$ (противолежащие углы равны), а два других равны $76^\circ$. Сравнивая эти значения, мы видим, что меньшим углом является угол $76^\circ$.

Ответ: 76

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся основной формулой: площадь равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.

1) Сначала найдём длину основания параллелограмма. На рисунке видно, что высота делит нижнюю сторону на два отрезка, длины которых равны $12$ и $8$. Следовательно, вся длина основания $a$ равна их сумме:
$a = 12 + 8 = 20$.

2) Теперь определим высоту параллелограмма. На рисунке проведена высота к этому основанию, и её длина указана прямо на чертеже:
$h = 5$.

3) Подставим полученные значения в формулу площади параллелограмма $S = a \cdot h$:
$S = 20 \cdot 5 = 100$.

Заметим, что число $13$ на рисунке обозначает длину боковой стороны. В данной задаче оно является избыточным данным, так как для вычисления площади по известному основанию и высоте боковая сторона не требуется (хотя по теореме Пифагора можно проверить, что $5^2 + 12^2 = 13^2$, что подтверждает корректность чертежа).

Ответ: 100

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
По определению окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра). Это расстояние как раз и называется радиусом $r$. Следовательно, любая точка на окружности находится от центра на расстоянии, равном радиусу. Это утверждение верно.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Согласно теореме о средней линии трапеции, она параллельна основаниям и равна их полусумме. Если основания равны $a$ и $b$, то средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$. Утверждение о том, что она равна просто сумме, неверно.

3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Формула площади параллелограмма через диагонали выглядит так: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между диагоналями. Площадь равна половине произведения диагоналей только в том случае, если они перпендикулярны (например, у ромба или квадрата, так как $\sin 90^\circ = 1$). Для произвольного параллелограмма это утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ