Вариант 4 · Сентябрь 2026

Отвечено 0 из 20

1
Задание №6
#354101 баллЧисла и вычисления
Найдите значение выражения $7,7 \cdot 5,3$ .
Правильный ответ
40.81
Пояснение
Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $7,7 \cdot 5,3$ , выполним умножение десятичных дробей пошагово.

1. Сначала перемножим числа, не обращая внимания на запятые, как если бы мы умножали целые числа $77$ и $53$ :
Умножим $77$ на $3$ : $77 \cdot 3 = 231$ .
Умножим $77$ на $50$ : $77 \cdot 50 = 3850$ .
Сложим полученные результаты: $231 + 3850 = 4081$ .

2. Теперь определим положение запятой в итоговом ответе. Для этого нужно посчитать количество знаков после запятой в обоих множителях вместе:
В числе $7,7$ — один знак после запятой.
В числе $5,3$ — один знак после запятой.
Всего получается $1 + 1 = 2$ знака после запятой.

3. Отсчитаем в полученном произведении $4081$ два знака справа налево и поставим запятую. Получаем $40,81$ .

Ответ: 40,81

Источник: ФИПИ
2
Задание №7
#343741 баллЧисла и вычисления
Одно из чисел $\frac{73}{22}$ , $\frac{83}{22}$ , $\frac{93}{22}$ и $\frac{113}{22}$ отмечено на числовой прямой точкой A.
Какое это число?

1) $\frac{73}{22}$
2) $\frac{83}{22}$
3) $\frac{93}{22}$
4) $\frac{113}{22}$
Правильный ответ
2
Пояснение
Решение.

1. Сначала определим координаты точки $A$ на числовой прямой. Посчитаем деления от нуля: точка $A$ находится между четвёртым и пятым штрихами. Это значит, что число $A$ больше $3$ , но меньше $4$ . При этом точка расположена ближе к числу $4$ , чем к числу $3$ .

2. Чтобы понять, какое из предложенных чисел соответствует точке $A$ , выделим целую часть у каждой дроби:

1) $\frac{73}{22} = 3\frac{7}{22}$ . Это число чуть больше $3$ , так как дробная часть $\frac{7}{22}$ меньше половины ( $\frac{11}{22}$ ). Оно находится в начале интервала от $3$ до $4$ .
2) $\frac{83}{22} = 3\frac{17}{22}$ . Это число также находится между $3$ и $4$ . Дробная часть $\frac{17}{22}$ больше половины ( $\frac{11}{22}$ ), значит, число расположено ближе к $4$ . Это соответствует положению точки $A$ .
3) $\frac{93}{22} = 4\frac{5}{22}$ . Это число больше $4$ , оно не подходит.
4) $\frac{113}{22} = 5\frac{3}{22}$ . Это число больше $5$ , оно не подходит.

3. Таким образом, только число $\frac{83}{22}$ удовлетворяет условию: оно лежит в промежутке $(3; 4)$ и находится ближе к правой границе (к числу $4$ ).

Ответ: 2

Источник: ФИПИ
3
Задание №8
#346211 баллАлгебраические выражения
Найдите значение выражения $\left(\right. \sqrt{27} + \sqrt{3} \left.\right) \cdot \sqrt{3}$ .
Правильный ответ
12
Пояснение
Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $(\sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$ , воспользуемся распределительным законом умножения: умножим каждое слагаемое в скобках на множитель $\sqrt{3}$ .

1) Сначала умножим первое слагаемое:
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81}$ .
Так как $9^2 = 81$ , то $\sqrt{81} = 9$ .

2) Теперь умножим второе слагаемое:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$ .

3) Сложим полученные результаты:
$9 + 3 = 12$ .

Альтернативный способ:
Можно сначала упростить корень $\sqrt{27}$ . Заметим, что $27 = 9 \cdot 3$ , тогда $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ .
Подставим это в выражение:
$(3\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12$ .

Ответ: 12

Источник: ФИПИ
4
Задание №9
#349971 баллУравнения и неравенства
Решите уравнение $x^{2} - 36 = 0$ .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший
из корней.
Правильный ответ
6
Пояснение
Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 36 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что в левой части уравнения стоит разность квадратов, так как $36 = 6^{2}$ . Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ :
$(x - 6)(x + 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x - 6 = 0$ , откуда $x_{1} = 6$ ;
2) $x + 6 = 0$ , откуда $x_{2} = -6$ .

Способ 2: Извлечение корня.
Перенесём число $36$ в правую часть уравнения, сменив знак на противоположный:
$x^{2} = 36$
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $36$ :
$x = \pm\sqrt{36}$
$x_{1} = 6$ , $x_{2} = -6$ .

Уравнение имеет два корня: $-6$ и $6$ . По условию задачи в ответ необходимо записать больший из корней. Сравним полученные числа: $6 > -6$ .

Ответ: 6

Источник: ФИПИ
5
Задание №10
#354811 баллВероятность и статистика
В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 1 чёрная, 3 жёлтых
и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся
ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Правильный ответ
0.25
Пояснение
Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество возможных исходов. Это общее число свободных машин, которые могут приехать к заказчику. По условию задачи их всего $12$ .
Значит, общее число исходов $n = 12$ .

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором приедет именно жёлтое такси. В условии сказано, что свободных жёлтых машин $3$ .
Значит, число благоприятных исходов $m = 3$ .

3. Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения:
$P = \frac{3}{12}$

4. Сократим полученную дробь на $3$ :
$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

5. Переведём обыкновенную дробь в десятичную для записи ответа:
$\frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25

Источник: ФИПИ
6
Задание №11
#363761 баллФункции
На рисунках изображены графики функций вида $y = a x^{2} + b x + c$ . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$ .
ГРАФИКИ
А) Б) В)
КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) $a > 0$ , $c < 0$ 2) $a < 0$ , $c > 0$ 3) $a > 0$ , $c > 0$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Впишите цифры от 1 до 3
Правильный ответ
123
Пояснение
Решение. Для того чтобы определить знаки коэффициентов квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$ , воспользуемся следующими правилами:

1. Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы: если $a > 0$ , ветви направлены вверх; если $a < 0$ , ветви направлены вниз.
2. Коэффициент $c$ равен значению функции при $x = 0$ . То есть $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$ . Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ , то $c > 0$ ; если ниже — то $c < 0$ .

Проанализируем каждый график:

График А (Рисунок 1):
- Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$ .
- Парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), следовательно, $c < 0$ .
Этому описанию соответствует вариант 1.

График Б (Рисунок 2):
- Ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$ .
- Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), следовательно, $c > 0$ .
Этому описанию соответствует вариант 2.

График В (Рисунок 3):
- Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$ .
- Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), следовательно, $c > 0$ .
Этому описанию соответствует вариант 3.

Сопоставив буквы и цифры, получаем последовательность: А — 1, Б — 2, В — 3.

Ответ: 123

Источник: ФИПИ
7
Задание №12
#345011 баллАлгебраические выражения
Центростремительное ускорение при движении по окружности $\left(\right. в м / с^{2} \left.\right)$ вычисляется по формуле $a = \omega^{2} R$ , где $\omega$ $—$ угловая скорость $\left(\right. в с^{- 1} \left.\right)$ ,
$R$ $—$ радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус $R$ , если угловая скорость равна $4 с^{- 1}$ , а центростремительное ускорение равно $96 м / с^{2}$ . Ответ дайте в метрах.
Правильный ответ
6
Пояснение
Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой центростремительного ускорения, данной в условии: $a = \omega^{2} R$ .

1. Выпишем значения известных величин из условия задачи:
— Угловая скорость $\omega = 4$ $с^{-1}$ ;
— Центростремительное ускорение $a = 96$ $м/с^{2}$ .

2. Нам необходимо найти радиус $R$ . Для этого выразим $R$ из исходной формулы. Разделим обе части уравнения на $\omega^{2}$ :
$R = \frac{a}{\omega^{2}}$ .

3. Подставим известные значения в полученную формулу:
$R = \frac{96}{4^{2}}$ .

4. Выполним вычисления по шагам:
Сначала возведём угловую скорость в квадрат: $4^{2} = 4 \cdot 4 = 16$ .
Теперь разделим значение ускорения на полученный результат: $R = \frac{96}{16}$ .

5. Проведём деление:
$96 : 16 = 6$ .

Таким образом, радиус окружности равен $6$ метрам.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ
8
Задание №13
#341211 баллУравнения и неравенства
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1) $x^{2} - 9 > 0$
2) $x^{2} + 9 > 0$
3) $x^{2} - 9 < 0$
4) $x^{2} + 9 < 0$
Правильный ответ
1
Пояснение
Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечены точки $-3$ и $3$ . Штриховка расположена левее числа $-3$ и правее числа $3$ . Это означает, что решением является объединение промежутков $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$ .

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 2 и 4 присутствует выражение $x^{2} + 9$ . Так как квадрат любого числа — величина неотрицательная ( $x^{2} \ge 0$ ), то выражение $x^{2} + 9$ всегда больше или равно 9.
Следовательно, неравенство $x^{2} + 9 > 0$ верно при любом $x$ , а неравенство $x^{2} + 9 < 0$ не имеет решений. Эти варианты нам не подходят.

3) Остаются варианты 1 и 3 с выражением $x^{2} - 9$ . Найдём корни соответствующего уравнения:
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = -3$ , $x_{2} = 3$ .
Эти корни как раз соответствуют точкам на рисунке.

4) Решим неравенство $x^{2} - 9 > 0$ методом интервалов или с помощью графика параболы. Графиком функции $f(x) = x^{2} - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $x$ в точках $-3$ и $3$ .
Значения функции положительны ( $> 0$ ) там, где парабола находится выше оси $x$ , то есть на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$ . Это в точности совпадает с рисунком.

5) Для проверки: неравенство $x^{2} - 9 < 0$ имело бы решение $(-3; 3)$ , что соответствует внутренней части между корнями.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ
9
Задание №14
#360041 баллЧисловые последовательности
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 15 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Правильный ответ
55
Пояснение
Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое проезжает автомобиль за каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
— Первый член прогрессии $a_1 = 15$ (расстояние за первую секунду);
— Разность прогрессии $d = -2$ (так как за каждую следующую секунду автомобиль проезжает на 2 метра меньше);
— Количество секунд $n = 5$ .

2. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за 5 секунд. Это сумма первых пяти членов арифметической прогрессии $S_5$ .

3. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

4. Подставим наши значения в формулу:
$S_5 = \frac{2 \cdot 15 + (-2) \cdot (5 - 1)}{2} \cdot 5$

5. Выполним вычисления по шагам:
— Сначала найдем значение в скобках: $5 - 1 = 4$ ;
— Умножим на разность: $-2 \cdot 4 = -8$ ;
— Вычислим числитель дроби: $2 \cdot 15 - 8 = 30 - 8 = 22$ ;
— Разделим на 2: $22 : 2 = 11$ ;
— Умножим результат на количество секунд: $11 \cdot 5 = 55$ .

Таким образом, за первые 5 секунд торможения автомобиль прошёл 55 метров.

Ответ: 55

Источник: ФИПИ
10
Задание №15
#357161 баллГеометрия
В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $115 °$ . Найдите внешний угол при вершине $C$ . Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ
65
Пояснение
Решение.

1. Вспомним определение: внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой же вершине.

2. На рисунке изображён треугольник $A B C$ . Сторона $A C$ продлена за точку $C$ , образуя прямую линию. Внутренний угол треугольника при вершине $C$ (угол $A C B$ ) и искомый внешний угол являются смежными.

3. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$ . Таким образом, чтобы найти внешний угол, нужно из $180^\circ$ вычесть величину внутреннего угла.

4. По условию задачи внутренний угол $C$ равен $115^\circ$ . Проведём вычисления:
$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$ .

Таким образом, внешний угол при вершине $C$ равен $65^\circ$ .

Ответ: 65

Источник: ФИПИ
11
Задание №16
#344641 баллГеометрия
Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A B C$ равен $92 °$ , угол $C A D$ равен $60 °$ . Найдите угол $A B D$ . Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ
32
Пояснение
Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанных углов окружности: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1) Рассмотрим угол $CAD$ . По условию $\angle CAD = 60^\circ$ . Этот угол является вписанным и опирается на дугу $CD$ .

2) Заметим, что на эту же самую дугу $CD$ опирается вписанный угол $CBD$ . Следовательно, эти углы равны между собой:
$\angle CBD = \angle CAD = 60^\circ$ .

3) По условию нам известен весь угол $ABC$ , который равен $92^\circ$ . На рисунке видно, что луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$ , разделяя его на две части: угол $ABD$ и угол $CBD$ . Таким образом:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$ .

4) Чтобы найти искомый угол $ABD$ , нужно из величины всего угла $ABC$ вычесть величину угла $CBD$ :
$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD$
$\angle ABD = 92^\circ - 60^\circ = 32^\circ$ .

Ответ: 32

Источник: ФИПИ
12
Задание №17
#350221 баллГеометрия
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 14. Найдите высоту этой трапеции.
Правильный ответ
28
Пояснение
Решение.

Давайте разберем задачу по шагам, опираясь на свойства вписанной окружности и трапеции.

1. На рисунке изображена равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность. По определению вписанной окружности, она касается всех четырех сторон трапеции: верхнего основания, нижнего основания и двух боковых сторон.

2. Вспомним важное свойство: расстояние между параллельными прямыми, касающимися окружности, равно диаметру этой окружности. В нашем случае основания трапеции параллельны друг другу и являются касательными к окружности.

3. Высота трапеции $h$ — это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому. Так как окружность касается обоих оснований, этот перпендикуляр проходит через центр окружности и равен её диаметру.

4. Диаметр окружности $D$ в два раза больше её радиуса $r$ . По условию задачи радиус вписанной окружности $r = 14$ .

5. Вычислим высоту трапеции:
$h = D = 2 \cdot r$
$h = 2 \cdot 14 = 28$

Таким образом, высота трапеции равна 28.

Ответ: 28

Источник: ФИПИ
13
Задание №18
#357271 баллГеометрия
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Правильный ответ
8
Пояснение
Решение.

Для решения этой задачи вспомним определение диагонали ромба. Диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины фигуры.

На рисунке изображён ромб, вершины которого лежат в узлах сетки. Чтобы найти длины его диагоналей, нужно посчитать количество клеток между противоположными вершинами по горизонтали и по вертикали.

1) Найдём горизонтальную диагональ. Посчитаем количество клеток между крайней левой и крайней правой вершинами ромба. Считая по клеткам, получаем, что её длина равна $8$ единицам.

2) Найдём вертикальную диагональ. Посчитаем количество клеток между верхней и нижней вершинами ромба. Считая по клеткам, получаем, что её длина равна $6$ единицам.

3) Сравним полученные значения: $8 > 6$ . Следовательно, большая диагональ ромба равна $8$ .

Так как размер клетки составляет $1 \times 1$ , то длина диагонали в единицах измерения совпадает с количеством клеток.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ
14
Задание №19
#340191 баллГеометрия
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
В ответ запишите номер истинного высказывания.
Правильный ответ
2
Пояснение
Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Треугольник со сторонами $1, 2, 4$ существует.
Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей стороны. Проверим это для самых коротких сторон: $1 + 2 = 3$ . Так как $3 < 4$ , неравенство не выполняется. Следовательно, такой треугольник существовать не может. Утверждение неверно.

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Ромб является частным случаем параллелограмма. По свойствам параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Поскольку ромб сохраняет все свойства параллелограмма, это утверждение верно.

3) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
Вспомним признак параллельности прямых: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то такие прямые параллельны друг другу (они никогда не пересекутся). Следовательно, они не могут быть перпендикулярны между собой. Утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ
15
Задание №20
#478192 балла
Решите уравнение $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$ .
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Для решения данного уравнения третьей степени воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 2x^{2}) + (-x - 2) = 0$

2. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $x^{2}$ , а во второй группе вынесем $-1$ :
$x^{2}(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

3. Теперь мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 2)$ . Вынесем его за скобки:
$(x + 2)(x^{2} - 1) = 0$

4. Заметим, что во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ :
$(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

5. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_{1} = -2$
2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = 1$
3) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_{3} = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -2; -1; 1

Источник: ФИПИ
16
Задание №21
#481932 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города А в город В. Тогда, согласно условию задачи, скорость на обратном пути из В в А составила $x + 5$ км/ч.

Расстояние между городами равно 180 км. Мы можем выразить время, затраченное на каждый из путей:
1) Время на путь из А в В: $t_1 = \frac{180}{x}$ (ч).
2) Время, проведенное в движении на обратном пути: $t_{движ} = \frac{180}{x + 5}$ (ч).

По условию задачи, на обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа, и общее время на обратный путь (время движения плюс время остановки) оказалось равно времени $t_1$ . Составим уравнение:
$\frac{180}{x + 5} + 3 = \frac{180}{x}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} - 3 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} - 1 = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 5)$ , учитывая, что $x > 0$ :
$\frac{60(x + 5) - 60x - x(x + 5)}{x(x + 5)} = 0$
$60x + 300 - 60x - x^2 - 5x = 0$
$-x^2 - 5x + 300 = 0$
Умножим на $-1$ :
$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 15 км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ
17
Задание №22
#484862 балла
Постройте график функции
$\left\{\begin{array}{l} y = x^{2} + 4 x + 4 \text{ при } x \geq - 5, \\ - \frac{45}{x} \text{ при } x < - 5. \end{array}\right.$
и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -5$ функция имеет вид $y = x^2 + 4x + 4$ .
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $y = (x + 2)^2$ .
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$ .
Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -5$ , $y = (-5 + 2)^2 = (-3)^2 = 9$ .
Точка $(-5; 9)$ принадлежит графику.

2) На промежутке $x < -5$ функция имеет вид $y = -\frac{45}{x}$ .
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$ ).
Найдём значение, к которому стремится функция на границе: при $x \to -5$ , $y \to -\frac{45}{-5} = 9$ .
Так как значения в граничной точке $x = -5$ совпали ( $9 = 9$ ), график функции является непрерывным.

3) Теперь определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y = m$ . Прямая $y = m$ параллельна оси $Ox$ .
Проследим за изменением количества пересечений при движении прямой снизу вверх (от $-\infty$ до $+\infty$ ):
— При $m < 0$ : прямая не пересекает параболу (так как $y = (x+2)^2 \geq 0$ ) и не пересекает ветвь гиперболы (так как при $x < -5$ значение $y = -45/x > 0$ ). Общих точек 0.
— При $m = 0$ : прямая касается вершины параболы в точке $(-2; 0)$ . Общая точка 1.
— При $0 < m < 9$ : прямая пересекает левую ветвь параболы, правую ветвь параболы и ветвь гиперболы. Общих точек 3.
— При $m = 9$ : прямая проходит через точку стыка $(-5; 9)$ и пересекает правую ветвь параболы. Общих точек 2.
— При $m > 9$ : прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как гипербола на данном участке ограничена сверху значением 9, а левая ветвь параболы заканчивается в точке $(-5; 9)$ ). Общая точка 1.

Таким образом, одна общая точка наблюдается при $m = 0$ и при $m > 9$ . Две общие точки наблюдаются при $m = 9$ .

Объединяя условия, получаем: $m = 0$ или $m \geq 9$ .

Ответ: $m = 0$ ; $m \geq 9$ .

Источник: ФИПИ
18
Задание №23
#480762 балла
Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 24$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 16 и 12.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём $OK \perp AB$ и $OM \perp CD$ . По условию задачи $OK = 16$ , $OM = 12$ , $AB = 24$ .

2) Рассмотрим треугольник $AOB$ . Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OK$ , проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $K$ делит хорду $AB$ пополам:
$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ .

3) Из прямоугольного треугольника $AKO$ по теореме Пифагора найдём радиус окружности $R = OA$ :
$OA^2 = AK^2 + OK^2$
$OA^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$OA = \sqrt{400} = 20$ .

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$ . Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 20$ . Высота $OM = 12$ является медианой, значит, $CM = MD$ .

5) Из прямоугольного треугольника $CMO$ по теореме Пифагора найдём отрезок $CM$ :
$CM^2 = OC^2 - OM^2$
$CM^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$CM = \sqrt{256} = 16$ .

6) Так как $M$ — середина $CD$ , то длина всей хорды $CD$ равна:
$CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 16 = 32$ .

Ответ: 32

Источник: ФИПИ
19
Задание №24
#482172 балла
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $B C$ и $A D$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $B K$ и $D M$ равны.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма его диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $BO = OD$ .

2. Рассмотрим треугольники $BOK$ и $DOM$ :
— Сторона $BO$ треугольника $BOK$ равна стороне $OD$ треугольника $DOM$ (так как $O$ — середина диагонали $BD$ ).
— Углы $BOK$ и $DOM$ равны как вертикальные.
— Углы $KBO$ и $MDO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ (стороны параллелограмма) и секущей $BD$ .

3. Таким образом, треугольники $BOK$ и $DOM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников $BOK$ и $DOM$ следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $BK = DM$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ
20
Задание №25
#485192 балла
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 12$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 9.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ . Так как $AD \parallel BC$ , то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$ . Следовательно, их сумма равна $180^\circ$ : $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$ .
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$ . Найдём сумму углов $KAB$ и $KBA$ :
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .
Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ высоту параллелограмма $H_1 H_2$ , где точка $H_1$ лежит на стороне $BC$ (или её продолжении), а точка $H_2$ — на стороне $AD$ . Также проведём перпендикуляр $KH_3$ к стороне $AB$ . По условию $KH_3 = 9$ .

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ . По свойству биссектрисы, любая её точка равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $K$ до стороны $BC$ . Таким образом, $KH_1 = KH_3 = 9$ .

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ . Значит, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $K$ до стороны $AD$ . Таким образом, $KH_2 = KH_3 = 9$ .

6) Высота параллелограмма $h$ , опущенная на сторону $BC$ , равна сумме перпендикуляров $KH_1$ и $KH_2$ , так как они лежат на одной прямой (высота между параллельными прямыми):
$h = KH_1 + KH_2 = 9 + 9 = 18$ .

7) Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$ , где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Нам известна сторона $BC = 12$ и высота $h = 18$ .
$S = BC \cdot h = 12 \cdot 18 = 216$ .

Ответ: 216

Источник: ФИПИ

Задание 1 из 20