Вариант 6 · Сентябрь 2026

Отвечено 0 из 20

1
Задание №6
#353261 баллЧисла и вычисления
Найдите значение выражения $\frac{3}{5} : \frac{2}{15}$ .
Правильный ответ
4.5
Пояснение
Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо выполнить деление одной обыкновенной дроби на другую. Вспомним правило: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть "перевернуть" вторую дробь).

1) Запишем деление как умножение:
$\frac{3}{5} : \frac{2}{15} = \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{2}$

2) Выполним умножение дробей. Для этого перемножим числители и знаменатели:
$\frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 2}$

3) Заметим, что числа $15$ и $5$ можно сократить на $5$ . Тогда в числителе вместо $15$ останется $3$ , а в знаменателе вместо $5$ останется $1$ :
$\frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{9}{2}$

4) Теперь переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$9 : 2 = 4,5$

Ответ: 4,5

Источник: ФИПИ
2
Задание №7
#342111 баллЧисла и вычисления
Между какими числами заключено число $\sqrt{27}$ ?

1) 2 и 3
2) 5 и 6
3) 12 и 14
4) 26 и 28
Правильный ответ
2
Пояснение
Решение.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится корень из числа, нам нужно сравнить его с квадратами этих чисел. Вспомним, что если $a < b < c$ , то и $\sqrt{a} < \sqrt{b} < \sqrt{c}$ (для положительных чисел).

1) Проверим первый вариант (числа 2 и 3). Возведём их в квадрат:
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
Число 27 не лежит в промежутке от 4 до 9, значит, $\sqrt{27}$ не находится между 2 и 3.

2) Проверим второй вариант (числа 5 и 6). Возведём их в квадрат:
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
Мы видим, что число 27 больше 25, но меньше 36. То есть выполняется неравенство:
$25 < 27 < 36$

3) Извлечём квадратный корень из каждой части неравенства:
$\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{36}$
$5 < \sqrt{27} < 6$

Следовательно, число $\sqrt{27}$ заключено между числами 5 и 6. Это соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ
3
Задание №8
#351451 баллАлгебраические выражения
Найдите значение выражения $\frac{\left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2}}{30}$ .
Правильный ответ
0.4
Пояснение
Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, выполним действия по порядку.

1. Сначала возведём в квадрат выражение в числителе: $(2\sqrt{3})^2$ . Согласно свойству степени произведения $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ , нам нужно возвести в квадрат каждый множитель в скобках:
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2$

2. Вычислим значения полученных степеней:
$2^2 = 4$
По определению квадратного корня, при возведении корня в квадрат получается подкоренное выражение: $(\sqrt{3})^2 = 3$ .
Следовательно, числитель равен: $4 \cdot 3 = 12$ .

3. Теперь подставим полученное значение в исходную дробь:
$\frac{12}{30}$

4. Сократим дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на $6$ :
$\frac{12 : 6}{30 : 6} = \frac{2}{5}$

5. Переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на $2$ , чтобы в знаменателе получилось $10$ :
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ
4
Задание №9
#350531 баллУравнения и неравенства
Найдите корень уравнения $3 x + 3 = 5 x$ .
Правильный ответ
1.5
Пояснение
Решение.

Для решения линейного уравнения $3x + 3 = 5x$ воспользуемся правилом переноса слагаемых: перенесём все слагаемые, содержащие переменную $x$ , в одну сторону уравнения, а числа — в другую.

1. Перенесём $3x$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный. Получим:
$3 = 5x - 3x$

2. Приведём подобные слагаемые в правой части уравнения:
$3 = 2x$

3. Чтобы найти значение $x$ , нужно разделить обе части уравнения на коэффициент перед $x$ , то есть на $2$ :
$x = \frac{3}{2}$

4. Переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим $3$ на $2$ :
$x = 1,5$

Ответ: 1,5

Источник: ФИПИ
5
Задание №10
#347541 баллВероятность и статистика
В магазине канцтоваров продаётся 132 ручки: 34 красных, 39 зелёных,
5 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет зелёной
или чёрной.
Правильный ответ
0.5
Пояснение
Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество синих и чёрных ручек вместе. Для этого из общего числа ручек вычтем количество красных, зелёных и фиолетовых:
$132 - (34 + 39 + 5) = 132 - 78 = 54$ (ручки).

2) По условию задачи синих и чёрных ручек поровну. Найдём количество чёрных ручек, разделив полученный результат на 2:
$54 : 2 = 27$ (чёрных ручек).

3) Нам нужно найти вероятность того, что выбранная ручка будет зелёной или чёрной. Найдём общее количество "благоприятных" ручек (сумму зелёных и чёрных):
$39 + 27 = 66$ (ручек).

4) Теперь вычислим вероятность $P$ , разделив количество благоприятных ручек на общее количество ручек в магазине:
$P = \frac{66}{132}$

5) Сократим дробь. Заметим, что $132$ ровно в два раза больше, чем $66$ :
$\frac{66}{132} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ
6
Задание №11
#363621 баллФункции
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
А) Б) В)
ФОРМУЛЫ
1) $y = - 3$ 2) $y = x - 3$ 3) $y = - 3 x$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Впишите цифры от 1 до 3
Правильный ответ
321
Пояснение
Решение.

Для решения задачи проанализируем каждую формулу и сопоставим её с характерными особенностями графиков линейных функций вида $y = kx + b$ .

1) Рассмотрим формулу $y = -3$ .
Это уравнение прямой, параллельной оси $Ox$ , так как значение $y$ всегда равно $-3$ независимо от $x$ . На рисунках такая прямая изображена под буквой В (горизонтальная линия, проходящая через точку $-3$ на оси ординат).
Следовательно, В → 1.

2) Рассмотрим формулу $y = x - 3$ .
Это линейная функция, где коэффициент $k = 1$ (положительный), значит, прямая возрастает (идёт снизу вверх слева направо). Свободный член $b = -3$ показывает, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -3)$ . На рисунках возрастающая прямая представлена под буквой Б.
Следовательно, Б → 2.

3) Рассмотрим формулу $y = -3x$ .
Это прямая пропорциональность. Коэффициент $k = -3$ (отрицательный), значит, прямая убывает. Свободный член $b = 0$ , что означает прохождение графика через начало координат — точку $(0; 0)$ . На рисунках убывающая прямая, проходящая через центр координат, изображена под буквой А.
Следовательно, А → 3.

Запишем полученное соответствие в таблицу:
А — 3
Б — 2
В — 1

Ответ: 321

Источник: ФИПИ
7
Задание №12
#361431 баллАлгебраические выражения
Кинетическая энергия тела массой кг, двигающегося со скоростью , вычисляется по формуле
и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 45 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Правильный ответ
6
Пояснение
Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой кинетической энергии, приведённой в условии:
$E_k = \frac{mv^2}{2}$ ,
где $m$ — масса тела в килограммах, $v$ — скорость тела в метрах в секунду, $E_k$ — кинетическая энергия в джоулях.

1. Выпишем известные из условия значения:
Масса автомобиля $m = 2500$ кг.
Кинетическая энергия $E_k = 45$ тысяч Дж, что в числовом виде записывается как $45\,000$ Дж.

2. Подставим эти значения в формулу:
$45\,000 = \frac{2500 \cdot v^2}{2}$ .

3. Упростим правую часть уравнения, разделив $2500$ на $2$ :
$45\,000 = 1250 \cdot v^2$ .

4. Теперь найдём $v^2$ , разделив обе части уравнения на $1250$ :
$v^2 = \frac{45\,000}{1250}$ .
Для удобства сократим дробь на $10$ :
$v^2 = \frac{4500}{125}$ .
Разделим $4500$ на $125$ :
$v^2 = 36$ .

5. Найдём скорость $v$ , извлекая квадратный корень из $36$ . Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
$v = \sqrt{36} = 6$ .

Таким образом, скорость автомобиля составляет $6$ м/с.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ
8
Задание №13
#342721 баллУравнения и неравенства
Укажите решение неравенства
$7 x - x^{2} > 0$ .

1)
2)
3)
4)
Правильный ответ
2
Пояснение
Решение.

Для решения квадратного неравенства $7x - x^{2} > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения. Для этого приравняем левую часть к нулю:
$7x - x^{2} = 0$ .

2. Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(7 - x) = 0$ .
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $7 - x = 0$ , откуда $x = 7$ .
Таким образом, мы получили две критические точки: $0$ и $7$ .

3. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак $>$ ), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разделяют прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$ , $(0; 7)$ и $(7; +\infty)$ .

4. Определим знак выражения $7x - x^{2}$ на каждом интервале. Графиком функции $y = -x^{2} + 7x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный: $a = -1$ ).
Это значит, что между корнями функция принимает положительные значения, а снаружи от корней — отрицательные.

5. Проверим это, подставив число из среднего интервала $(0; 7)$ , например, $x = 1$ :
$7 \cdot 1 - 1^{2} = 7 - 1 = 6$ .
Так как $6 > 0$ , интервал $(0; 7)$ является решением неравенства.

6. На рисунках это решение соответствует заштрихованному промежутку между точками $0$ и $7$ . Этот вариант изображён на рисунке под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ
9
Задание №14
#357551 баллЧисловые последовательности
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте
в миллиграммах.
Правильный ответ
432
Пояснение
Решение.

Данная задача описывает процесс изменения массы колонии микроорганизмов, который можно представить в виде геометрической прогрессии, так как масса увеличивается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Для начала определим, сколько раз произойдёт увеличение массы за указанное время. Общее время эксперимента составляет $60$ минут, а одно увеличение происходит каждые $20$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$60 : 20 = 3$ (раза).

2. Обозначим начальную массу колонии как $b_1 = 16$ мг.
Так как масса увеличивается в $3$ раза, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = 3$ .

3. Проследим за изменением массы по этапам:
— Через 20 минут (1-е увеличение): $16 \cdot 3 = 48$ мг.
— Через 40 минут (2-е увеличение): $48 \cdot 3 = 144$ мг.
— Через 60 минут (3-е увеличение): $144 \cdot 3 = 432$ мг.

4. Также это можно вычислить по формуле $n$ -го члена геометрической прогрессии. Нам нужно найти массу после трёх периодов увеличения, что соответствует четвёртому члену последовательности $b_4$ :
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = 16 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27$
Выполним умножение: $16 \cdot 27 = 432$ .

Таким образом, через 60 минут масса колонии составит 432 мг.

Ответ: 432

Источник: ФИПИ
10
Задание №15
#353061 баллГеометрия
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $18 °$ . Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ
72
Пояснение
Решение.

1. Вспомним важное свойство углов треугольника: сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$ .

2. По условию задачи нам дан прямоугольный треугольник. Это значит, что один из его углов — прямой, то есть он равен $90^\circ$ .

3. Нам также известно, что один из острых углов этого треугольника равен $18^\circ$ .

4. Чтобы найти второй острый угол, нужно из общей суммы углов треугольника ( $180^\circ$ ) вычесть сумму двух известных углов (прямого и заданного острого):
$180^\circ - (90^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ .

5. Эту задачу можно решить ещё быстрее, если помнить следствие из теоремы о сумме углов треугольника: сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$ .
Тогда искомый угол равен:
$90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$ .

Ответ: 72

Источник: ФИПИ
11
Задание №16
#347671 баллГеометрия
Отрезки $A C$ и $B D$ $—$ диаметры окружности с центром в точке $O$ . Угол $A C B$ равен $23 °$ . Найдите угол $A O D$ . Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ
134
Пояснение
Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$ . Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$ . Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$ .

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$ . По условию задачи $\angle ACB = 23^{\circ}$ (это тот же угол, что и $\angle OCB$ ), поэтому $\angle OBC = 23^{\circ}$ .

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$ . Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 23^{\circ}) = 180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ}$ .

4) Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$ . Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны между собой.

5) Таким образом, $\angle AOD = \angle BOC = 134^{\circ}$ .

Ответ: 134

Источник: ФИПИ
12
Задание №17
#361331 баллГеометрия
В равнобедренной трапеции с основаниями $A D$ и $B C$ угол $D$ равен $80 \circ$ . Диагональ $A C$ образует со стороной $A B$ угол $30 \circ$ . Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Правильный ответ
50
Пояснение
Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции $ABCD$ . По условию трапеция равнобедренная, значит, углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при большем основании $A$ равен углу при основании $D$ :
$\angle BAD = \angle D = 80^\circ$ .

2) Диагональ $AC$ делит угол $BAD$ на две части: угол $BAC$ и угол $CAD$ . По условию задачи угол между диагональю и боковой стороной $AB$ равен $30^\circ$ , то есть $\angle BAC = 30^\circ$ .

3) Найдём вторую часть угла $A$ — угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$ :
$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ$ .

4) Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $BCA$ и $CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$ .

5) По свойству параллельных прямых накрест лежащие углы равны:
$\angle BCA = \angle CAD = 50^\circ$ .

Угол $BCA$ и есть искомый угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ .

Ответ: 50

Источник: ФИПИ
13
Задание №18
#355711 баллГеометрия
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Правильный ответ
6
Пояснение
Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся изображением на клетчатой бумаге. Нам дан прямоугольный треугольник, катеты которого лежат на линиях сетки.

1) Сначала определим длины катетов треугольника. Катеты — это стороны, образующие прямой угол. В данном случае это вертикальная и горизонтальная стороны треугольника.

2) Посчитаем длину вертикального катета по клеткам. Мы видим, что он занимает $4$ клетки в высоту. Так как размер клетки $1 \times 1$ , длина этого катета равна $4$ .

3) Посчитаем длину горизонтального катета по клеткам. Мы видим, что он занимает $6$ клеток в ширину. Следовательно, длина этого катета равна $6$ .

4) Нам необходимо найти длину большего катета. Сравним полученные значения:
$6 > 4$ .

Таким образом, длина большего катета равна $6$ .

Ответ: 6

Источник: ФИПИ
14
Задание №19
#341311 баллГеометрия
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
В ответ запишите номер истинного высказывания.
Правильный ответ
2
Пояснение
Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность:

1) «Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов».
Это утверждение неверно. Согласно формуле, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$ . В утверждении пропущен множитель $\frac{1}{2}$ .

2) «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны».
Это утверждение верно. Частным случаем прямоугольника является квадрат. У квадрата все углы прямые (значит, это прямоугольник) и все стороны равны (значит, это ромб). По свойству ромба его диагонали пересекаются под прямым углом. Таким образом, квадрат — это и есть тот самый прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3) «Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны».
Это утверждение неверно. В отличие от треугольников, для четырёхугольников равенства сторон недостаточно. Например, можно взять квадрат и ромб с такими же длинами сторон. Стороны у них будут равны, но фигуры будут иметь разные углы и, следовательно, не будут равны между собой. Четырёхугольник — фигура «жестко» не зафиксированная своими сторонами.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ
15
Задание №20
#477502 балла
Решите неравенство
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0$ .

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$ . Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть также отрицательным (так как «минус на минус дает плюс»).

2. Заметим, что дробь не может быть равна нулю, так как числитель $-10 \neq 0$ . Следовательно, наше неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$ .

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , представив число $5$ как $(\sqrt{5})^2$ :
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$ .

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$ :
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$ .

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала:
— На интервале $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$ выражение положительно.
— На интервале $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам нужно найти значения $x$ , при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ .

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ
16
Задание №21
#480472 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого бегуна. Тогда, согласно условию задачи, скорость второго бегуна равна $v + 8$ км/ч.

1. Рассмотрим движение первого бегуна. Известно, что через 1 час ( $t_1 = 1$ ч) ему оставался 1 км до конца круга. Значит, длина всей круговой трассы $S$ складывается из расстояния, которое он пробежал за час, и оставшегося километра:
$S = v \cdot 1 + 1 = v + 1$ (км).

2. Теперь рассмотрим движение второго бегуна. Он пробежал этот же круг ( $S$ ) на 20 минут раньше, чем прошел час с момента старта. Переведем 20 минут в часы:
$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$ .
Следовательно, второй бегун преодолел круг за время:
$t_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (ч).

3. Используя формулу пути $S = v \cdot t$ , запишем длину круга через скорость и время второго бегуна:
$S = (v + 8) \cdot \frac{2}{3}$ .

4. Так как длина круга $S$ в обоих случаях одинакова, приравняем полученные выражения:
$v + 1 = \frac{2}{3}(v + 8)$ .

5. Решим полученное уравнение. Для удобства умножим обе части на 3:
$3(v + 1) = 2(v + 8)$
$3v + 3 = 2v + 16$
Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а числа — в правую:
$3v - 2v = 16 - 3$
$v = 13$ .

Таким образом, скорость первого бегуна составляет 13 км/ч.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ
17
Задание №22
#476722 балла
Постройте график функции $y = x^{2} - 9 x - 2 \left|\right. x - 4 \left|\right. + 20$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} - 9x - 2|x - 4| + 20$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 4 \ge 0$ (или $x \ge 4$ ), то $|x - 4| = x - 4$ .
Тогда функция принимает вид:
$y = x^{2} - 9x - 2(x - 4) + 20$
$y = x^{2} - 9x - 2x + 8 + 20$
$y = x^{2} - 11x + 28$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{11}{2} = 5,5$
$y_{0} = (5,5)^{2} - 11 \cdot 5,5 + 28 = 30,25 - 60,5 + 28 = -2,25$
Точка стыка при $x = 4$ : $y(4) = 4^{2} - 11 \cdot 4 + 28 = 16 - 44 + 28 = 0$ .

2) Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 4 < 0$ (или $x < 4$ ), то $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$ .
Тогда функция принимает вид:
$y = x^{2} - 9x - 2(4 - x) + 20$
$y = x^{2} - 9x - 8 + 2x + 20$
$y = x^{2} - 7x + 12$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{7}{2} = 3,5$
$y_{0} = (3,5)^{2} - 7 \cdot 3,5 + 12 = 12,25 - 24,5 + 12 = -0,25$
Точка стыка при $x = 4$ : $y(4) = 4^{2} - 7 \cdot 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$ .

График представляет собой две состыкованные параболы с общей точкой $(4; 0)$ .
Левая часть (при $x < 4$ ) имеет минимум в точке $(3,5; -0,25)$ .
Правая часть (при $x \ge 4$ ) имеет минимум в точке $(5,5; -2,25)$ .

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она имеет с графиком ровно три общие точки в следующих случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину "верхней" параболы (левой части). Это значение $m = -0,25$ . В этом случае одна точка пересечения будет в вершине левой параболы, и ещё две точки — на ветвях правой параболы.
2) Когда прямая проходит через точку стыка парабол. Это значение $m = 0$ . В этом случае одна точка пересечения — это точка стыка $(4; 0)$ , и ещё две точки — на внешних ветвях парабол.

При $m < -2,25$ точек нет. При $m = -2,25$ — одна точка. При $-2,25 < m < -0,25$ — две точки. При $m = -0,25$ — три точки. При $-0,25 < m < 0$ — четыре точки. При $m = 0$ — три точки. При $m > 0$ — две точки.

Ответ: -0,25; 0

Источник: ФИПИ
18
Задание №23
#477882 балла
Высота $A H$ ромба $A B C D$ делит сторону $C D$ на отрезки $D H = 21$ и $C H = 8$ . Найдите высоту ромба.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1. Для начала вспомним определение и свойства ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Значит, $AB = BC = CD = AD$ .

2. По условию задачи высота $AH$ падает на сторону $CD$ и делит её на два отрезка: $DH = 21$ и $CH = 8$ . Найдём длину всей стороны $CD$ , сложив длины этих отрезков:
$CD = DH + CH = 21 + 8 = 29$ .

3. Так как у ромба все стороны равны, то сторона $AD$ также равна $29$ :
$AD = CD = 29$ .

4. Теперь рассмотрим треугольник $ADH$ . Так как $AH$ — высота, то угол $AHD$ равен $90^\circ$ , следовательно, треугольник $ADH$ является прямоугольным.

5. В прямоугольном треугольнике $ADH$ нам известны гипотенуза $AD = 29$ и катет $DH = 21$ . Чтобы найти высоту $AH$ (второй катет), воспользуемся теоремой Пифагора:
$AH^2 + DH^2 = AD^2$ .

6. Подставим известные значения в формулу:
$AH^2 + 21^2 = 29^2$
$AH^2 + 441 = 841$ .

7. Выразим $AH^2$ :
$AH^2 = 841 - 441$
$AH^2 = 400$ .

8. Найдём значение $AH$ :
$AH = \sqrt{400} = 20$ .

Таким образом, высота ромба равна $20$ .

Ответ: 20

Источник: ФИПИ
19
Задание №24
#480272 балла
В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} B C_{1}$ и $A B C$ подобны.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ . Поскольку угол $ABC$ тупой, основания высот $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ соответственно. В этих треугольниках углы при вершине $B$ являются вертикальными: $\angle A_1BA = \angle C_1BC$ . Следовательно, треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ подобны по двум углам (прямому и вертикальному).

2) Из подобия треугольников $AA_1B$ и $CC_1B$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA}{BC}$ .
Переставим члены пропорции для удобства:
$\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$ .

3) Теперь рассмотрим треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ . У них:
— угол $B$ общий (вертикальные углы $\angle A_1BC_1$ и $\angle ABC$ равны);
— стороны, образующие этот угол, пропорциональны согласно полученному ранее отношению: $\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$ .

4) Таким образом, треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ
20
Задание №25
#482792 балла
В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 8$ , $B C = 4$ .
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1. Проанализируем условие. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp BC$ . Поскольку основания трапеции параллельны ( $BC \parallel AD$ ), сторона $AB$ перпендикулярна и нижнему основанию $AD$ . Таким образом, прямая $AB$ является вертикальной прямой, к которой примыкают горизонтальные основания.

2. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ . Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KAD$ . Они подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$ ).
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KC}{KD} = \frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{BC}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
Значит, $C$ — середина отрезка $KD$ , а $B$ — середина отрезка $KA$ . То есть $KC = CD$ и $KB = BA$ .

3. Воспользуемся свойством касательной и секущей для окружности, проходящей через точки $C$ и $D$ . Прямая $KE$ является касательной (так как она лежит на прямой $AB$ ), а $KD$ — секущей.
По теореме о квадрате касательной: $KE^2 = KC \cdot KD$ .
Пусть $KC = x$ , тогда $KD = 2x$ .
Получаем: $KE^2 = x \cdot 2x = 2x^2$ , откуда $KE = x\sqrt{2}$ .

4. Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ . Обозначим это расстояние (длину перпендикуляра $EH$ ) как $h$ .
Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHE$ . В нём $\sin(\angle EKH) = \frac{EH}{KE}$ , следовательно, $h = KE \cdot \sin(\angle EKH)$ .
Угол $\angle EKH$ — это тот же угол $\angle K$ в прямоугольном треугольнике $KAD$ .

5. Найдем синус угла $K$ из треугольника $KAD$ .
Сначала найдем $KA$ . Проведем высоту трапеции $CP \perp AD$ . Тогда $AP = BC = 4$ , а $PD = AD - AP = 8 - 4 = 4$ .
В прямоугольном треугольнике $CPD$ катет $PD = 4$ . Так как $KC = CD$ , то $CP$ — средняя линия треугольника $KAD$ , значит $KA = 2 \cdot CP$ .
Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ также видно, что $KB = BA$ , то есть $KA = 2 \cdot KB$ .
В треугольнике $KAD$ : $\sin(\angle K) = \frac{AD}{KD} = \frac{8}{2x} = \frac{4}{x}$ .

6. Теперь подставим значения в формулу для $h$ :
$h = KE \cdot \sin(\angle K) = x\sqrt{2} \cdot \frac{4}{x} = 4\sqrt{2}$ .

Заметим, что искомое расстояние не зависит от конкретной высоты трапеции, а определяется только длинами оснований через соотношение подобия.

Ответ: $4\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ

Задание 1 из 20