Вариант 7 · Сентябрь 2026

Решение.

1. Сначала определим координаты точки $A$ на числовой прямой. Посчитаем деления от нуля: точка $A$ находится между четвёртым и пятым штрихами. Это значит, что число $A$ больше $3$, но меньше $4$. При этом точка расположена ближе к числу $4$, чем к числу $3$.

2. Чтобы понять, какое из предложенных чисел соответствует точке $A$, выделим целую часть у каждой дроби:

1) $\frac{73}{22} = 3\frac{7}{22}$. Это число чуть больше $3$, так как дробная часть $\frac{7}{22}$ меньше половины ($\frac{11}{22}$). Оно находится в начале интервала от $3$ до $4$.
2) $\frac{83}{22} = 3\frac{17}{22}$. Это число также находится между $3$ и $4$. Дробная часть $\frac{17}{22}$ больше половины ($\frac{11}{22}$), значит, число расположено ближе к $4$. Это соответствует положению точки $A$.
3) $\frac{93}{22} = 4\frac{5}{22}$. Это число больше $4$, оно не подходит.
4) $\frac{113}{22} = 5\frac{3}{22}$. Это число больше $5$, оно не подходит.

3. Таким образом, только число $\frac{83}{22}$ удовлетворяет условию: оно лежит в промежутке $(3; 4)$ и находится ближе к правой границе (к числу $4$).

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращённого умножения, которая называется «разность квадратов»:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

В нашем выражении роль $a$ играет число $\sqrt{19}$, а роль $b$ — число $\sqrt{2}$. Применим формулу:
$(\sqrt{19} - \sqrt{2})(\sqrt{19} + \sqrt{2}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{2})^2$

Вспомним важное свойство квадратного корня: при возведении квадратного корня из неотрицательного числа в квадрат получается само это число. То есть $(\sqrt{a})^2 = a$.
Применим это свойство к нашим числам:
1) $(\sqrt{19})^2 = 19$
2) $(\sqrt{2})^2 = 2$

Теперь подставим полученные значения в выражение:
$19 - 2 = 17$

Ответ: 17

Источник: ФИПИ

Решение.

Дано неполное квадратное уравнение: $x^{2} = 5x$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения квадратного уравнения перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался ноль. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный:
$x^{2} - 5x = 0$

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в обоих слагаемых в левой части есть общий множитель $x$. Вынесем его за скобки:
$x(x - 5) = 0$

Шаг 3. Решение уравнения.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$

Шаг 4. Выбор ответа.
Мы получили два корня: $0$ и $5$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним числа: $0 < 5$. Следовательно, меньший корень — это $0$.

Ответ: 0

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество исходов. По условию задачи на экзамене всего $40$ билетов. Значит, общее число исходов $n = 40$.

2) Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятным исходом считается ситуация, при которой Саше попадается выученный билет. Так как он не выучил $2$ билета из $40$, то количество выученных билетов равно:
$40 - 2 = 38$.
Следовательно, количество благоприятных исходов $m = 38$.

3) Вычислим вероятность $P$ того, что Саше попадётся выученный билет, по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{38}{40}$

4) Сократим дробь на $2$:
$P = \frac{19}{20}$

5) Переведём полученную дробь в десятичный вид. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на $5$:
$P = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0,95$

Ответ: 0,95

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $k$ и $b$ в уравнении прямой $y = kx + b$:

1) Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, то функция возрастает (прямая идет "снизу вверх"), если $k < 0$, то функция убывает (прямая идет "сверху вниз").
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Если прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат (оси $Ox$), то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А: Прямая направлена вниз (функция убывает), значит, $k < 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $b > 0$. Это соответствует варианту 2.

График Б: Прямая направлена вниз (функция убывает), значит, $k < 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$, значит, $b < 0$. Это соответствует варианту 3.

График В: Прямая направлена вверх (функция возрастает), значит, $k > 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $b > 0$. Это соответствует варианту 1.

Таким образом, получаем соответствие: А — 2, Б — 3, В — 1.

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо воспользоваться предложенной формулой зависимости температуры по шкале Фаренгейта от температуры по шкале Цельсия: $t_{F} = 1,8 t_{C} + 32$.

По условию задачи нам дана температура в градусах Цельсия: $t_{C} = -35$. Чтобы найти соответствующее значение по шкале Фаренгейта, подставим это число в формулу вместо переменной $t_{C}$:

$t_{F} = 1,8 \cdot (-35) + 32$

Выполним вычисления по шагам:

1) Сначала найдём произведение $1,8 \cdot (-35)$. Так как мы умножаем положительное число на отрицательное, результат будет отрицательным.
Умножим столбиком или в уме: $18 \cdot 35 = 630$. Учитывая один знак после запятой в числе $1,8$, получаем:
$1,8 \cdot (-35) = -63$

2) Теперь прибавим к полученному результату число $32$:
$t_{F} = -63 + 32$

3) Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак того числа, модуль которого больше:
$63 - 32 = 31$. Так как число $-63$ имеет больший модуль, итоговый результат будет отрицательным:
$t_{F} = -31$

Таким образом, $-35$ градусов по шкале Цельсия соответствуют $-31$ градусу по шкале Фаренгейта.

Ответ: -31

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных промежутков.

Шаг 1. Решим первое неравенство системы:
$x + 0{,}6 \le 0$
Перенесём число $0{,}6$ в правую часть уравнения, сменив его знак на противоположный:
$x \le -0{,}6$
Это означает, что нам подходят все числа, которые меньше или равны $-0{,}6$.

Шаг 2. Решим второе неравенство системы:
$x - 1 \ge -4$
Перенесём число $-1$ в правую часть уравнения со знаком «плюс»:
$x \ge -4 + 1$
Выполним сложение:
$x \ge -3$
Это означает, что нам подходят все числа, которые больше или равны $-3$.

Шаг 3. Найдём общее решение (пересечение):
Мы получили два условия: $x \le -0{,}6$ и $x \ge -3$.
Запишем это в виде двойного неравенства:
$-3 \le x \le -0{,}6$
На числовой прямой этому условию соответствует промежуток от $-3$ до $-0,6$, включая концы (так как знаки неравенства нестрогие).

В виде интервала это записывается так: $[-3; -0{,}6]$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Данный промежуток соответствует варианту № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны следующие данные:
Количество мест в 5-м ряду: $a_5 = 25$;
Количество мест в 9-м ряду: $a_9 = 33$;
Общее количество рядов: $n = 21$.
Найти нужно количество мест в последнем (21-м) ряду: $a_{21}$.

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для 5-го и 9-го рядов:
$a_5 = a_1 + 4d = 25$
$a_9 = a_1 + 8d = 33$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от $a_1$:
$(a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 33 - 25$
$4d = 8$
$d = 8 : 4$
$d = 2$
Значит, в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в 21-м ряду.
Мы можем найти $a_{21}$, зная $a_9$ и разность $d$. Для этого воспользуемся формулой связи любых двух членов прогрессии: $a_k = a_m + (k - m) \cdot d$.
Подставим наши значения ($k = 21$, $m = 9$):
$a_{21} = a_9 + (21 - 9) \cdot d$
$a_{21} = 33 + 12 \cdot 2$
$a_{21} = 33 + 24$
$a_{21} = 57$

Таким образом, в последнем ряду амфитеатра 57 мест.

Ответ: 57

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^\circ$. Кроме того, биссектриса, проведённая к любой стороне, также является медианой и высотой.

2. Пусть сторона треугольника равна $a = 16\sqrt{3}$. Проведённая биссектриса (обозначим её $h$) делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В одном из таких треугольников:

• гипотенуза — это сторона исходного треугольника $a = 16\sqrt{3}$;
• один из катетов — это половина стороны основания (так как биссектриса является медианой), то есть $\frac{a}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$;
• второй катет — это искомая биссектриса $h$.

3. Для нахождения биссектрисы $h$ можно воспользоваться определением синуса или теоремой Пифагора. Воспользуемся соотношением в прямоугольном треугольнике через угол $60^\circ$: $h = a \cdot \sin(60^\circ)$.

4. Подставим известные значения: $h = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Выполним вычисления: $h = \frac{16 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 8 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, длина биссектрисы равна 24.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника. По условию задачи $a = 14\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Подставим значение стороны в формулу высоты:
$h = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$

4. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Точка пересечения медиан делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины.

5. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра до стороны треугольника, то есть составляет ровно $\frac{1}{3}$ часть высоты:
$r = \frac{1}{3}h$

6. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7$

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба.

1. Вспомним, что ромб является параллелограммом, поэтому сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $ABC$ и $BCD$ являются соседними. Следовательно:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC$.
Подставим известное значение угла $ABC = 56^\circ$:
$\angle BCD = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

2. В ромбе все стороны равны, значит, треугольник $BCD$ является равнобедренным ($BC = CD$). Однако нам удобнее использовать свойство диагоналей ромба: диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

3. Отрезок $AC$ является диагональю ромба $ABCD$. Значит, луч $CA$ делит угол $BCD$ пополам. Искомый угол $ACD$ равен половине угла $BCD$:
$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2}$.
$\angle ACD = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ$.

Ответ: 62

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и формулой средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Шаг 1. Определим длины оснований трапеции.
Основания трапеции — это её параллельные стороны. На рисунке они расположены горизонтально. Посчитаем их длину по клеткам, учитывая, что размер одной клетки составляет $1 \times 1$:
1) Верхнее основание (обозначим его $a$) занимает $3$ клетки. Значит, $a = 3$.
2) Нижнее основание (обозначим его $b$) занимает $7$ клеток. Значит, $b = 7$.

Шаг 2. Применим формулу средней линии.
Пусть $m$ — длина средней линии трапеции. Формула для её нахождения выглядит так:
$m = \frac{a + b}{2}$

Шаг 3. Выполним вычисления.
Подставим найденные значения оснований в формулу:
$m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, длина средней линии данной трапеции равна $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение. Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую».
Это утверждение неверно. Согласно основным аксиомам геометрии, через одну точку можно провести бесконечное множество различных прямых. Только через две различные точки можно провести одну-единственную прямую.

2) «Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности».
Это утверждение верно. Это свойство является одной из важных теорем планиметрии. Точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех вершин треугольника, поэтому она и является центром описанной окружности.

3) «Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом».
Это утверждение верно. По определению параллелограмма, его противоположные стороны попарно равны. Если же равны ещё и две соседние стороны (например, $AB = BC$), то получается, что все четыре стороны фигуры равны между собой ($AB = BC = CD = DA$). Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ