Вариант 9 · Сентябрь 2026

Решение.

Для решения этой задачи проанализируем положение точек $x$ и $y$ на координатной прямой относительно начала отсчёта (точки $0$).

1) Определим знаки чисел и их примерные значения. На рисунке видно, что:
— Число $y$ находится слева от нуля, значит, $y < 0$ (отрицательное).
— Число $x$ находится справа от нуля, значит, $x > 0$ (положительное).
— Расстояние от $0$ до $x$ заметно больше, чем расстояние от $0$ до $y$. Это означает, что модуль числа $x$ больше модуля числа $y$: $|x| > |y|$.

2) Для удобства выберем конкретные значения, соответствующие рисунку. Пусть $y = -1$. Тогда $x$, находясь дальше от нуля в положительную сторону, может быть равен, например, $3$.

3) Проверим каждое утверждение с этими значениями:

Утверждение 1: $x + y > 0$
Подставим наши значения: $3 + (-1) = 2$.
Так как $2 > 0$, это утверждение верно. Поскольку $x$ положительно и по модулю больше, чем отрицательное $y$, их сумма всегда будет положительной.

Утверждение 2: $x y^{2} < 0$
Подставим значения: $3 \cdot (-1)^{2} = 3 \cdot 1 = 3$.
Условие $3 < 0$ ложно. Так как $x > 0$ и $y^{2} > 0$ (квадрат любого ненулевого числа положителен), их произведение всегда будет больше нуля.

Утверждение 3: $x - y < 0$
Подставим значения: $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
Условие $4 < 0$ ложно. Разность положительного числа и отрицательного всегда положительна.

Утверждение 4: $x^{2} y > 0$
Подставим значения: $3^{2} \cdot (-1) = 9 \cdot (-1) = -9$.
Условие $-9 > 0$ ложно. Так как $x^{2} > 0$, а $y < 0$, их произведение всегда будет отрицательным.

Таким образом, верным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы определить, какое из чисел принадлежит промежутку $[5; 6]$, нам нужно сравнить эти числа с границами промежутка. Удобнее всего это сделать, представив границы промежутка в виде квадратных корней.

1) Возведём границы промежутка в квадрат:
Число $5$ можно записать как $\sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
Число $6$ можно записать как $\sqrt{6^2} = \sqrt{36}$.

2) Таким образом, промежуток $[5; 6]$ — это то же самое, что и промежуток $[\sqrt{25}; \sqrt{36}]$. Нам нужно найти число из предложенного списка, которое находится между $\sqrt{25}$ и $\sqrt{36}$.

3) Проверим каждое из данных чисел:
— Число $\sqrt{5}$: так как $5 < 25$, это число меньше $5$ и не входит в промежуток.
— Число $\sqrt{6}$: так как $6 < 25$, это число меньше $5$ и не входит в промежуток.
— Число $\sqrt{23}$: так как $23 < 25$, это число меньше $5$ и не входит в промежуток.
— Число $\sqrt{31}$: так как $25 < 31 < 36$, это число больше $5$, но меньше $6$. Следовательно, оно принадлежит промежутку $[5; 6]$.

Число $\sqrt{31}$ соответствует варианту ответа № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения необходимо перенести слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую.

1. Перенесём $-4x$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный. Получим:
$-9 = 6x + 4x$

2. Приведём подобные слагаемые в правой части уравнения:
$6x + 4x = 10x$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$-9 = 10x$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент перед $x$, то есть на $10$:
$x = -9 : 10$

4. Выполним деление:
$x = -0,9$

Ответ: -0,9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество билетов на экзамене. По условию задачи их $40$. Это и будет общее число возможных исходов.

2. Теперь найдём количество «благоприятных» исходов. Благоприятным считается событие, при котором Оскару попадается выученный билет. Так как всего билетов $40$, а не выучил он $12$, то количество выученных билетов равно:
$40 - 12 = 28$.

3. Вычислим вероятность $P$, разделив количество выученных билетов на общее количество билетов:
$P = \frac{28}{40}$.

4. Сократим полученную дробь на $4$:
$\frac{28}{40} = \frac{7}{10}$.

5. Запишем результат в виде десятичной дроби:
$\frac{7}{10} = 0,7$.

Ответ: 0,7

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем каждую функцию и её свойства.

1) Рассмотрим формулу $y = x + 3$. Это линейная функция вида $y = kx + b$.
— Коэффициент $b = 3$ означает, что график пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$.
— Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$, значит, график проходит через точку $(-3; 0)$.
На рисунке А мы видим прямую, которая пересекает ось $Oy$ в точке $3$ и ось $Ox$ в точке $-3$. Следовательно, А — 1.

2) Рассмотрим формулу $y = 3$. Это функция, значение которой не зависит от $x$.
— Графиком такой функции является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $3$ на оси $Oy$.
На рисунке Б изображена именно такая горизонтальная прямая. Следовательно, Б — 2.

3) Рассмотрим формулу $y = 3x$. Это прямая пропорциональность.
— График такой функции всегда проходит через начало координат — точку $(0; 0)$, так как при $x = 0$ получаем $y = 3 \cdot 0 = 0$.
— Если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$. То есть прямая проходит через точку $(1; 3)$.
На рисунке В изображена прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Следовательно, В — 3.

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой кинетической энергии, представленной на рисунках:
$E_k = \frac{mv^2}{2}$,
где $m$ — масса тела в килограммах, $v$ — скорость тела в метрах в секунду, $E_k$ — кинетическая энергия в джоулях.

1. Выпишем известные из условия значения:
Масса автомобиля $m = 1600$ кг.
Кинетическая энергия $E_k = 500$ тысяч джоулей. Переведём это число в стандартный вид: $E_k = 500 \cdot 1000 = 500\,000$ Дж.

2. Подставим данные значения в формулу:
$500\,000 = \frac{1600 \cdot v^2}{2}$

3. Упростим правую часть уравнения, разделив 1600 на 2:
$500\,000 = 800 \cdot v^2$

4. Теперь выразим квадрат скорости $v^2$. Для этого разделим обе части уравнения на 800:
$v^2 = \frac{500\,000}{800}$
Сократим на 100 (уберем по два нуля в числителе и знаменателе):
$v^2 = \frac{5000}{8}$
Выполним деление:
$v^2 = 625$

5. Чтобы найти скорость $v$, необходимо извлечь квадратный корень из 625. Так как скорость — величина положительная, берем только положительное значение:
$v = \sqrt{625}$
$v = 25$

Таким образом, скорость автомобиля составляет 25 м/с.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $x^{2} \leq 64$, воспользуемся методом интервалов или графическим методом.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$x^{2} = 64$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два значения:
$x_{1} = 8$ и $x_{2} = -8$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8]$, $[-8; 8]$ и $[8; +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки $-8$ и $8$ будут закрашенными (включены в решение).

3. Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} - 64$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Неравенство $x^{2} - 64 \leq 0$ означает, что нам нужно найти те значения $x$, при которых график параболы лежит ниже оси $Ox$ или пересекает её.

4. Парабола находится ниже оси $Ox$ на промежутке между своими корнями. Следовательно, решением неравенства является отрезок:
$-8 \leq x \leq 8$, что записывается как $x \in [-8; 8]$.

5. Посмотрим на предложенные рисунки:
- На рисунке 1 заштрихована область $x \leq 8$.
- На рисунке 2 заштрихованы "хвосты" (внешние области) $x \leq -8$ и $x \geq 8$.
- На рисунке 3 заштрихована область $x \leq -8$.
- На рисунке 4 заштрихована область между числами $-8$ и $8$, что соответствует нашему результату.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса колонии увеличивается в одинаковое количество раз за равные промежутки времени.

1. Определим начальные данные. Пусть $b_1$ — начальная масса колонии микроорганизмов. По условию $b_1 = 13$ мг.

2. Выясним, сколько раз произойдёт увеличение массы. Общее время эксперимента составляет 90 минут, а масса увеличивается каждые 30 минут. Разделим общее время на интервал увеличения:
$90 : 30 = 3$ (раза).

3. Теперь проследим за изменением массы по этапам:
— Через 30 минут (1-е увеличение): масса станет в 3 раза больше начальной.
— Через 60 минут (2-е увеличение): масса станет в 3 раза больше той, что была через 30 минут.
— Через 90 минут (3-е увеличение): масса станет в 3 раза больше той, что была через 60 минут.

4. Проведём вычисления:
— Масса через 30 минут: $13 \cdot 3 = 39$ мг.
— Масса через 60 минут: $39 \cdot 3 = 117$ мг.
— Масса через 90 минут: $117 \cdot 3 = 351$ мг.

Эту же задачу можно решить по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $q = 3$, а нам нужно найти массу после 3-х шагов увеличения, то есть четвёртый член последовательности $b_4$:
$b_4 = 13 \cdot 3^3 = 13 \cdot 27 = 351$.

Ответ: 351

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая применяется для прямоугольных треугольников. На рисунке изображён прямоугольный треугольник, так как один из его углов отмечен квадратиком (прямой угол).

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула выглядит так:
$c^2 = a^2 + b^2$,
где $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — его гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла).

1) По условию задачи катеты равны $a = 9$ и $b = 12$. Подставим эти значения в формулу:
$c^2 = 9^2 + 12^2$.

2) Возведём числа в квадрат:
$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$,
$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.

3) Сложим полученные результаты:
$c^2 = 81 + 144 = 225$.

4) Чтобы найти гипотенузу $c$, нужно извлечь квадратный корень из полученного числа:
$c = \sqrt{225}$.
Так как $15 \cdot 15 = 225$, то $c = 15$.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 15.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника.

1. Пусть $a$ — длина стороны равностороннего треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. По условию задачи $r = 9\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, связывающую радиус вписанной окружности со стороной правильного треугольника:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

3. Из этой формулы мы можем выразить сторону $a$. Для этого умножим обе части уравнения на $6$:
$6r = a\sqrt{3}$,
откуда $a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$.

4. Подставим известное значение радиуса $r = 9\sqrt{3}$ в полученное выражение:
$a = \frac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.

5. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$a = 6 \cdot 9$,
$a = 54$.

Таким образом, сторона треугольника равна $54$.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Вспомним свойства равнобедренной трапеции:
— Углы при каждом основании равны. То есть два острых угла при нижнем основании равны между собой, и два тупых угла при верхнем основании также равны между собой.
— Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$ (так как это односторонние углы при параллельных прямых-основаниях и секущей-боковой стороне).

2) Нам дана сумма двух углов, равная $268^\circ$. Поймём, какие это могут быть углы:
— Это не могут быть углы при боковой стороне, так как их сумма всегда $180^\circ$.
— Это не могут быть два острых угла, так как сумма двух острых углов всегда меньше $180^\circ$ ($268^\circ > 180^\circ$).
— Значит, $268^\circ$ — это сумма двух равных тупых углов при верхнем основании трапеции.

3) Найдём величину одного тупого угла:
$268^\circ : 2 = 134^\circ$.

4) Теперь найдём меньший угол трапеции (острый угол). Так как сумма острого и тупого углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, вычтем из этой суммы известный нам тупой угол:
$180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.

Таким образом, острые углы трапеции равны по $46^\circ$, а тупые — по $134^\circ$. Меньшим углом является угол в $46^\circ$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ

Решение.

Для нахождения площади трапеции, изображённой на клетчатой бумаге, воспользуемся стандартной геометрической формулой. Площадь трапеции $S$ равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$,

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции (параллельных сторон), а $h$ — её высота.

Шаг 1. Определим длины оснований.
Посчитаем количество клеток вдоль верхнего и нижнего оснований трапеции:
— Верхнее основание $a$ занимает $2$ клетки. Значит, $a = 2$.
— Нижнее основание $b$ занимает $6$ клеток. Значит, $b = 6$.

Шаг 2. Определим высоту трапеции.
Высота $h$ — это перпендикуляр, проведённый между основаниями. По рисунку видно, что расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания, составляет $3$ клетки. Значит, $h = 3$.

Шаг 3. Вычислим площадь.
Подставим найденные значения в формулу:
$S = \frac{2 + 6}{2} \cdot 3$
$S = \frac{8}{2} \cdot 3$
$S = 4 \cdot 3$
$S = 12$

Таким образом, площадь трапеции равна $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.»
Согласно аксиомам и теоремам геометрии, из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, и притом только один. Это базовое построение, которое всегда выполнимо на плоскости. Следовательно, это утверждение верно.

2) «В любой прямоугольник можно вписать окружность.»
Окружность можно вписать в четырёхугольник только в том случае, если суммы длин его противоположных сторон равны. У прямоугольника противоположные стороны равны, но смежные (длина и ширина) могут отличаться. Условие вписанной окружности для прямоугольника выполняется только в том случае, если он является квадратом. Таким образом, утверждение неверно для произвольного прямоугольника.

3) «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.»
В равнобедренном треугольнике только та биссектриса, которая проведена к основанию, является медианой и высотой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, в общем случае не являются медианами (это свойство характерно только для равностороннего треугольника). Следовательно, утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ