Задание 1 ЕГЭ по математике (база) 2027: простые текстовые задачи

Стоимость одинаковых товаров равна цене одного товара, умноженной на их количество. Обозначим цену через $p$, количество через $n$, стоимость через $C$. Тогда:

Выбирайте формулу по вопросу. Если покупатель дал кассиру сумму $B$ и получил сдачу $s$, фактически он потратил $B-s$. Цена одного из одинаковых товаров находится так:

Скобки сохраняют порядок действий: сначала вычитаем сдачу, затем делим. Делить всю переданную сумму нельзя: часть денег вернулась покупателю. Если ищут саму сдачу, из переданной суммы вычитают стоимость всех покупок. При нескольких видах товаров сначала складывают их стоимости.

Если нужно купить наибольшее число целых товаров при ограниченном бюджете, деление показывает, на сколько товаров хватило бы денег с учётом дробной части. Оставляем целое число, которое не превышает частное: следующая покупка уже не помещается в бюджет.

Если нужно обеспечить всех местами или запасти достаточно краски, направление обратное. Неполная последняя группа всё равно требует ещё одной комнаты, лодки или банки. Выбираем наименьшее целое число, которое не меньше частного.

Это не школьное округление до ближайшего целого по первой цифре после запятой. Даже небольшой остаток может потребовать дополнительную упаковку. А при покупке дорогого товара дробный остаток денег не превращается в ещё один товар. Если деление получилось нацело, результат уже подходит: прибавлять единицу не нужно.

Для желающих записать правило кратко: символ $\lfloor x\rfloor$ обозначает округление вниз, а $\lceil x\rceil$ — вверх. Учить эти обозначения для решения задания необязательно. Достаточно каждый раз объяснять словами, почему выбранного количества хватает и почему соседнее целое число не подходит.

До деления приведите однородные величины к одним единицам. Нельзя делить расход краски в граммах на массу банки в килограммах, оставив числа без изменения. Можно перевести в граммы массу банки или в килограммы общий расход — оба пути дадут одинаковый ответ.

Нестандартное соотношение берите из условия. Если в задаче указано, сколько километров в миле, используйте именно это число. Чтобы перевести километры в мили, нужно узнать, сколько таких отрезков помещается в заданном расстоянии, то есть разделить. Для обратного перевода — умножить.

Отдельная ловушка — время в десятичной записи. Полтора часа — это $1{,}5\cdot60=90$ минут. Запись $1{,}5$ часа не означает час и пять минут. Аналогично при переводе площади коэффициент длины возводят в квадрат: $1\text{ м}^2=10\,000\text{ см}^2$. Сначала определите, измеряете вы длину, площадь или время.

Если на единицу работы требуется $r$ материала, а объём работы равен $S$, общий расход составляет $rS$. Для краски это расход на квадратный метр, умноженный на площадь; для продуктов — расход на порцию, умноженный на число порций.

Здесь $m$ — количество материала в одной упаковке, а $N$ — минимальное число упаковок. Формула работает, когда упаковки покупают целиком. Если спрашивают только массу израсходованной краски, второе действие вообще не нужно. Если же расход топлива дан на $100$ километров, сначала найдите число таких участков пути, разделив расстояние на $100$, а затем умножьте его на расход.

Для блюда могут одновременно требоваться крупа и молоко, для набора — несколько разных деталей. Вычислите, сколько целых изделий позволяет получить каждый запас по отдельности, и выберите меньшее число. Все необходимые ресурсы расходуются одновременно: лишнее молоко не заменит недостающую крупу.

В этой записи $A$ и $B$ — запасы двух ресурсов, а $a$ и $b$ — расходы на одно изделие. После выбора ответа подставьте его в оба ограничения: каждого ресурса должно хватить. Для следующего изделия хотя бы одного уже должно не хватать.

Одна пачка обеспечивает поклейку пяти рулонов. Делим общее количество рулонов на это число:

Тринадцати пачек недостаточно. Остаток соответствует ещё двум рулонам, и для них нужна дополнительная пачка. Поэтому выбираем $14$.

Ответ: $14$. Проверка показывает одновременно достаточность и минимальность: четырнадцати пачек хватает, тринадцати — нет. Округление дроби до ближайшего целого здесь привело бы к нехватке клея.

Из переданных кассиру денег вычитаем сдачу. Получаем стоимость всей покупки, затем делим её на число одинаковых товаров:

Ответ: $96$. Проверяем: пять ломтиков стоят $5\cdot96=480$ рублей; вместе со сдачей это $480+20=500$ рублей. Цена меньше ста рублей, что согласуется с тем, что после покупки пяти товаров с пятисот рублей ещё осталась сдача.

Находим отношение бюджета к цене билета:

Купить четверть билета нельзя. Денег хватает на шесть целых билетов, а дробная часть означает остаток бюджета, которого недостаточно для следующего билета.

Ответ: $6$. После покупки остаётся $100$ рублей. Это меньше цены билета, поэтому максимум найден правильно. В ответе требуется количество билетов, а не оставшиеся деньги.

Удобно считать в граммах. В одной банке содержится $1500$ г, а на весь потолок понадобится:

Делим общий расход на массу краски в одной банке:

Шести банок мало, а купить часть банки по условию нельзя. Округляем вверх до семи. Проверяем запас:

Ответ: $7$. Можно было считать в килограммах: $0{,}21\cdot47=9{,}87$ и затем разделить на $1{,}5$. Оба пути дают одинаковое число банок. Не нужно добавлять произвольный запас «на всякий случай»: условие уже задаёт расход и требует наименьшее достаточное количество.

Миля длиннее километра, поэтому за тот же час автомобиль проезжает численно меньше миль, чем километров. Делим:

Умножение делимого и делителя на десять позволяет убрать запятую в делителе. Округлять результат не нужно: скорость может выражаться дробным числом, а целое число миль в условии не требуется.

Ответ: $47{,}5$. Обратный перевод даёт $47{,}5\cdot1{,}6=76$ км/ч. Число меньше исходного, как и должно быть при переходе к более крупной единице расстояния.

По запасу крупы можно приготовить $150:30=5$ порций. Молока достаточно на шесть полных порций, поскольку:

Из двух ограничений выбираем меньшее: крупы хватит только на пять порций. Проверим расход обоих продуктов для этого числа:

Ответ: $5$. Молоко останется, а крупа закончится. Шестую порцию приготовить нельзя: для шести порций потребовалось бы $180$ г манки. Складывать число порций по двум продуктам нельзя: каждая порция требует обоих продуктов.

Отработайте умножение цены на количество, поиск цены по общей стоимости и вычитание сдачи. Решайте короткими подходами по несколько задач. Перед вычислением называйте искомую величину, после него восстанавливайте переданную кассиру сумму. Если ошибаетесь в делении, отдельно повторите деление многозначных чисел и десятичных дробей.

Чередуйте задачи на бюджет и достаточное количество упаковок. Для каждого ответа проверяйте два соседних целых числа. Включайте случаи с небольшим остатком и с делением нацело, чтобы не привыкнуть автоматически прибавлять единицу. К концу этапа вы должны объяснять направление округления без обращения к правилу округления десятичных дробей.

Решайте задачи на краску, топливо и перевод величин. Сначала выписывайте единицы в каждой строке решения. Затем попробуйте решить задачу двумя способами, например в граммах и килограммах: совпадение ответов покажет, что перевод понятен. Добавьте сюжеты с двумя ресурсами и проверяйте каждый запас.

Выбирайте задачи без предварительного знания их типа. Засекайте время с момента чтения до готового проверенного ответа. Ориентируйтесь на семь минут из проекта спецификации, сохраняя время для проверки. Записывайте причину каждого промаха короткой фразой: «не учёл сдачу», «не перевёл массу», «округлил скорость». Через несколько дней повторно решите ошибочные задачи без подсказки.