Задание 7 ЕГЭ по математике (база) 2027: графики функций и производная

График функции состоит из точек с координатами $(x;f(x))$. Чтобы определить знак значения в заданной точке, найдите соответствующий участок кривой и сравните его с горизонтальной осью. Положение самой буквы на оси не является значением функции.

Знак аргумента и знак функции независимы. Точка может находиться слева от вертикальной оси и выше горизонтальной: тогда аргумент отрицателен, а значение функции положительно. Не выбирайте знак функции по тому, слева или справа стоит заданная буква.

Если утверждение относится ко всем точкам интервала, одной проверки в середине недостаточно. Просмотрите весь участок и убедитесь, что он не пересекает горизонтальную ось. Для открытого интервала концы не входят: нулевое значение на исключённой границе само по себе не нарушает положительность внутри.

Читайте график слева направо, то есть в сторону увеличения аргумента. Когда значения функции увеличиваются, функция возрастает; когда уменьшаются — убывает. Возрастающий участок может лежать целиком ниже оси: отрицательные числа тоже могут становиться больше.

Переход от первого значения ко второму означает рост, хотя оба отрицательны. Точно так же положительная температура может уменьшаться. Проверяйте два разных признака отдельно: где находится график и куда он направляется.

На заданном промежутке кривая может сначала возрастать, а затем убывать. Тогда нельзя назвать всю функцию возрастающей только потому, что правый конец выше левого. Сравнение концов показывает общее изменение, но не доказывает монотонность внутри.

В бытовых графиках характеристика иногда соединяет два условия: «росло и не превышало границу». Нужно проверить оба. Наличие роста не отменяет проверки максимального уровня, а правильный диапазон значений не гарантирует роста.

Производная в точке связана с наклоном касательной к графику. Касательная направлена вверх слева направо — производная положительна; вниз — отрицательна; горизонтальная касательная означает нулевую производную, если производная существует.

Для дифференцируемой функции положительная производная на интервале означает возрастание, отрицательная — убывание. В заданиях с отдельными точками особенно надёжно смотреть на касательную или явно показанный гладкий участок. Общий факт возрастания не запрещает нулевую производную в отдельной точке.

Пересечение горизонтальной оси означает нулевое значение функции, а не обязательно нулевую производную. Если график пересекает ось под наклоном, значение функции равно нулю, а производная имеет знак этого наклона. Именно такое сочетание часто входит в варианты ответа.

Для прямой угловой коэффициент равен отношению изменения вертикальной координаты к изменению горизонтальной:

У касательной этот коэффициент равен производной в точке касания. Если на рисунке есть сетка и известен масштаб обеих осей, можно выбрать две удобные точки самой касательной и вычислить отношение. Не берите две произвольные точки кривой: так получится наклон секущей, а не касательной.

Если точной сетки нет, задача может требовать сопоставить несколько заметно различающихся значений. Сначала разделите касательные по знаку. Затем внутри каждой группы сравните крутизну: более крутой подъём имеет большую положительную производную, более крутой спуск — больший модуль отрицательной производной.

Самая крутая линия вниз соответствует большому по модулю отрицательному числу. Оно при этом меньше, а не больше пологого отрицательного наклона. Не смешивайте сравнение чисел со сравнением их модулей.

Сравнивать наклоны по внешнему виду можно на одном графике с общей системой масштабов. Если рисунки имеют разные масштабы осей, угол на странице может ввести в заблуждение: нужно учитывать числовую цену деления.

В точке локального максимума соседние значения не больше, в точке локального минимума — не меньше значения в самой точке. На гладком графике внутренний максимум выглядит как вершина, минимум — как впадина; касательная в такой точке горизонтальна.

Но обратное утверждение неверно: нулевая производная сама по себе не гарантирует экстремум. Например, функция $y=x^3$ продолжает возрастать при переходе через ноль, хотя её производная там равна нулю. Для вывода об экстремуме проверьте изменение поведения по обе стороны точки.

Не путайте точку максимума со значением максимума. Точка относится к аргументу, значение — к вертикальной координате. В заданиях на соответствие важно читать, какой из этих объектов назван в характеристике.

В графиках температуры, давления и продаж сначала прочитайте горизонтальную ось. На ней могут быть дни, часы нескольких суток или месяцы, начиная с декабря. Не заменяйте подписи привычным календарным порядком.

Для утверждения «на всём периоде было меньше» проверьте каждое показанное наблюдение. Для «объём падал за период» уточните, описывается ли монотонное снижение или сравнение начала и конца. Если точки соединены только для наглядности, линия не создаёт новых измерений между ними.

«Наибольший рост» и «самый быстрый рост» тоже требуют внимания к времени. Для одинаковых длительностей достаточно сравнить приросты; для разных длительностей среднюю скорость изменения находят делением прироста на длительность:

Это среднее изменение за промежуток. Производная описывает мгновенное изменение в точке. В конкретном задании выбирайте тот смысл, который указан в характеристике и показан на графике.

7

Задание 7

ФИПИ

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

Точки	Характеристики
$A$	1) Значение функции отрицательно, производная равна нулю
$B$	2) Значение функции положительно, производная равна нулю
$C$	3) Производная отрицательна, значение функции равно нулю
$D$	4) Производная положительна, значение функции отрицательно

В точке с абсциссой $A$ график пересекает горизонтальную ось, двигаясь вниз. Поэтому значение функции равно нулю, а производная отрицательна — номер $3$. В точке $B$ виден гладкий минимум ниже оси: значение отрицательное, касательная горизонтальна — номер $1$.

В точке $C$ график ещё ниже оси, но уже поднимается. Здесь функция отрицательна, производная положительна — номер $4$. В точке $D$ находится гладкий максимум выше оси: функция положительна, производная равна нулю — номер $2$.

Ответ: $3142$. Проверка: в каждой строке совпадают оба признака. Особое внимание точкам $A$ и $B$: нуль функции и нуль производной находятся в разных местах.

7

Задание 7

ФИПИ

На рисунке точками показаны ежемесячные объёмы продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией. Поставьте в соответствие каждому периоду характеристику продаж.

Периоды	Характеристики
А) Зима	1) Ежемесячный объём продаж был меньше $40$ штук в течение всего периода
Б) Весна	2) Падение объёма продаж более чем на $60$ штук за период
В) Лето	3) Ежемесячный объём продаж достиг максимума
Г) Осень	4) Ежемесячный объём продаж рос, но был меньше $100$ штук

График начинается с декабря, поэтому зимний период здесь — первые три точки: декабрь, январь и февраль. Самая высокая точка приходится на февраль, значит, А соответствует номеру $3$.

Весной от марта до мая продажи снижаются примерно со ста двадцати до пятидесяти с небольшим штук. Падение составляет около семидесяти, то есть больше шестидесяти. Б соответствует номеру $2$. Точного считывания дробной части клеток не требуется: отличие от границы достаточно заметно.

Летние точки июня, июля и августа все расположены ниже уровня сорока — номер $1$. Осенью каждая следующая точка выше предыдущей, но даже ноябрьская остаётся ниже ста — номер $4$.

Ответ: $3214$. Проверка: зимой достигается общий максимум, весной происходит большой спад, летом все значения ниже установленной границы, осенью одновременно выполняются рост и ограничение сверху. Сезоны определены по подписанным месяцам, а не по привычному началу года в январе.

7

Задание 7

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

Точки	Значения производной
$A$	1) $-4$
$B$	2) $3$
$C$	3) $\frac23$
$D$	4) $-0{,}5$

Сначала разделяем касательные по знаку. В точках $A$ и $D$ они поднимаются слева направо, значит, производные положительны. В точках $B$ и $C$ — опускаются, поэтому производные отрицательны.

Из двух подъёмов более крутой находится в точке $A$. Ей соответствует большее положительное число $3$, то есть вариант $2$. Более пологий подъём в $D$ соответствует $2/3$, варианту $3$.

Крутой спуск в $B$ имеет больший модуль наклона: $-4$, вариант $1$. Пологий спуск в $C$ соответствует $-0{,}5$, варианту $4$.

Ответ: $2143$. Проверка: знаки совпадают с направлением каждой касательной, а модули — с относительной крутизной. Точка $D$ лежит ниже оси, но производная в ней положительна: сравниваем наклон, а не высоту.

Для каждого участка отдельно определяйте знак функции и направление изменения. Включайте возрастающие участки ниже оси и убывающие выше неё. Объясняйте признаки двумя короткими фразами, чтобы они не сливались в один.

Решайте соответствия сначала без времени. Проверяйте всё описание, особенно когда в нём объединены рост и ограничение значений.

Отработайте положительный, отрицательный и нулевой наклон. Сравнивайте две положительные и две отрицательные производные. На сетке вычисляйте коэффициент по двум точкам касательной, учитывая масштаб обеих осей.

Отдельно различайте нуль функции и нуль производной. Найдите на рисунке примеры, где совпадает только один из этих признаков.

Решайте задачи о температуре, давлении и продажах. Перед выбором выделите требуемый период, проверьте границы и месяцы. Для сложной характеристики последовательно проверяйте каждую её часть.

Чередуйте вопросы о росте величины и скорости роста. Если интервалы различаются по длительности, не сравнивайте только абсолютный прирост без учёта времени.

Переключайтесь между графиками с касательными и бытовыми зависимостями. Ориентир проекта спецификации — семь минут. Засекайте время вместе с проверкой всех соответствий и порядка цифр.

После ошибки запишите её причину: «смотрел на высоту вместо наклона», «не проверил весь интервал», «переставил цифры». Через несколько дней решите задачу заново без подсказки.