Задание 15 ЕГЭ по математике (база) 2027: проценты, доли и отношения

Задание 15 проверяет работу с процентами, долями и отношениями в текстовой задаче. Нужно определить, какое число принято за целое, найти изменение или новое значение и ответить именно на поставленный вопрос. Разберём четыре примера ФИПИ — увеличение платы, скидку, распределение площади и удержание части суммы. Для самостоятельной практики открыт тренажёр задания 15.

Задания ФИПИ: проценты

Решите четыре задания 15 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 15

Обобщённый план ФИПИ связывает позицию с вычислением значений, преобразованием выражений и решением текстовых задач. В проекте демоверсии представлены проценты и деление величины в заданном отношении. Ключевой навык — правильно выбрать базу сравнения и отличить размер изменения от результата после изменения.

Параметр	Задание 15
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	8 минут
Форма ответа	Краткий числовой ответ в единицах, указанных в вопросе
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 15

Как выглядит формулировка

Задание 15

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 1

Ежемесячная плата за телефон составляет $240$ рублей. В следующем году она увеличится на $5\%$ . Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?

За целое принимаем прежнюю плату. Найдём пять процентов этой суммы, затем прибавим увеличение к исходному значению:

240\cdot\frac5{100}=12,\qquad240+12=252.

Ответ: $252$ . Проверка: разница с прежней платой равна двенадцати рублям, а $12/240=0{,}05$ — это пять процентов. Новая плата больше старой, как и указано в условии.

Можно выполнить расчёт одним действием. После увеличения на пять процентов остаётся всё исходное значение и добавляется ещё пять процентов, то есть новое число составляет сто пять процентов исходного:

240\cdot1{,}05=252.

Оба способа равноправны. Два действия удобнее для понимания, коэффициент изменения — для короткого счёта. В ответ требуется новая плата, поэтому число $12$ было бы только промежуточным результатом.

Теория: проценты, части и отношения

Процент — сотая часть выбранного целого

Процент связывает часть с конкретной базой. Одно и то же количество процентов от разных сумм даёт разные абсолютные величины. Поэтому перед формулой полезно записать словами, какое число в этой задаче соответствует ста процентам.

p\%=\frac p{100},\qquad B=A\cdot\frac p{100}.

Здесь $A$ — исходное целое, $B$ — его часть, составляющая $p\%$ . Если нужно узнать, сколько процентов одна величина составляет от другой, часть делят на целое и умножают на сто.

p=\frac BA\cdot100\quad(A\ne0).

Порядок деления важен. В вопросе «сколько процентов новое значение составляет от исходного» знаменателем является исходное число. В вопросе «на сколько процентов увеличилось» в числителе сначала находят разность нового и исходного значений.

Увеличение и уменьшение на процент

При увеличении сохраняется исходная величина и добавляется её процентная часть. При уменьшении эта часть вычитается. Удобные коэффициенты объединяют два действия в одно.

A_{\text{нов}}=A\left(1+\frac p{100}\right).

A_{\text{нов}}=A\left(1-\frac p{100}\right).

Вторая формула описывает обычное уменьшение положительной величины, когда процент не превышает ста. Для скидки оставшаяся доля цены равна ста процентам минус размер скидки. Не умножайте цену на долю скидки, если спрашивают сумму к оплате: это даст размер экономии.

Выражения «увеличили на столько процентов» и «стало столько процентов от прежнего» задают разные операции. В первом к целому добавляют часть, во втором указан уже итоговый коэффициент. Внимательно читайте предлоги «на» и «от».

Обратная задача: найти исходное число

Если известно значение после изменения, исходное находят делением на коэффициент. Нельзя просто вычесть из новой суммы тот же процент, которым увеличивали старую: процент будет посчитан от другой базы.

A=\frac{A_{\text{нов}}}{1+p/100}\quad\text{при увеличении}.

A=\frac{A_{\text{нов}}}{1-p/100}\quad\text{при уменьшении},\qquad p<100.

Проверяйте обратный расчёт прямым действием: примените к найденной исходной сумме изменение из условия. Получиться должна известная конечная величина. Эта проверка одновременно контролирует коэффициент и арифметику.

Последовательные изменения

Если величина меняется несколько раз, каждый следующий процент обычно считают от результата предыдущего шага, когда именно так устроен сюжет. Коэффициенты перемножаются. Складывать проценты без анализа базы нельзя.

A_2=A_0\left(1+\frac p{100}\right)\left(1-\frac q{100}\right).

Одинаковые проценты увеличения и последующего уменьшения обычно не возвращают исходное число: второй процент берётся уже от изменённой величины. Чтобы не запутаться, подписывайте промежуточное значение и базу каждого этапа.

Если условие прямо говорит, что обе части считаются от одной первоначальной суммы, модель другая. Не переносите правило последовательного изменения в задачу с общей неизменной базой. Сначала восстановите смысл каждого процента.

Деление в отношении

Отношение двух частей показывает количество одинаковых долей в каждой. Если всё разделено в отношении $m:n$ , то общее число долей равно $m+n$ . Сначала находят одну долю, затем нужную часть.

A_1=S\cdot\frac m{m+n},\qquad A_2=S\cdot\frac n{m+n}.

В этих формулах $S$ — сумма двух частей, а $m,n$ — положительные числа, задающие отношение. Доля второй части от целого равна $n/(m+n)$ , а не $n/m$ . Последняя дробь сравнивает вторую часть с первой.

Слово «соответственно» закрепляет порядок: первое число отношения относится к первому названному объекту. До расчёта подпишите обе доли словами. Если известна одна часть, а не общая сумма, одну долю находят делением известной части на соответствующее ей число долей.

Три похожих вопроса — три результата

Что спрашивают	Что вычислять	Что проверить
Размер скидки или прибавки	Процентную часть исходного числа	Правильно ли выбрана база
Значение после изменения	Исходное число с прибавленной или вычтенной частью	Нужно ли увеличение или уменьшение
Исходное значение	Конечное число, делённое на коэффициент изменения	Восстанавливается ли конечное прямой проверкой
Часть общей суммы в отношении	Общую сумму, умноженную на долю части	Учтена ли сумма чисел отношения

В денежных задачах не округляйте автоматически до рублей, если условие не требует округления. Сначала получите точный результат и прочитайте требуемую форму ответа. В задачах с площадью или массой также сохраняйте заданные единицы.

Алгоритм решения

Прочитайте вопрос. Найти часть, новое значение, исходное число или процент?
Выберите базу. Запишите, какая величина соответствует целому.
Определите действие. Процентная часть, коэффициент увеличения или уменьшения, деление на коэффициент либо доли отношения.
Выполните точные вычисления. Сокращайте дроби до умножения, если это удобно.
Проверьте смысл. После скидки цена меньше, после увеличения — больше, части в сумме дают целое.
Проверьте обратным действием. Восстановите процент или исходную связь частей.
Запишите требуемую величину. Не переносите размер изменения, когда вопрос о конечной сумме.

Потренируйте выбор базы процента

Перед каждым вычислением произносите: «сто процентов — это…». Затем уточняйте, какую величину нужно записать в ответ.

Решать задание 15

Ещё три примера с разбором

Пример 2. Цена после скидки

Задание 15

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 2

Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку $5\%$ . Книга стоит $180$ рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

После скидки покупатель оплачивает $100-5=95$ процентов исходной цены. Умножаем её на соответствующую долю:

180\cdot0{,}95=171.

Ответ: $171$ . Проверка двумя действиями: скидка равна $180\cdot0{,}05=9$ рублей; цена после неё — $180-9=171$ . Покупатель заплатит меньше первоначальной цены. Число $9$ описывает экономию, но не отвечает на вопрос о платеже.

Пример 3. Площадь, разделённая в отношении

Задание 15

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 3

Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет $36$ гектаров и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении $2:7$ соответственно. Сколько гектаров занимают овощные культуры?

Зерновым соответствуют две доли, овощным — семь. Всего долей девять. Найдём площадь одной доли:

2+7=9,\qquad36:9=4\text{ га}.

Овощные культуры занимают семь таких долей:

4\cdot7=28\text{ га}.

Ответ: $28$ . Проверка: зерновые занимают $4\cdot2=8$ гектаров; сумма $8+28=36$ , отношение $8:28=2:7$ . Овощная часть больше, поскольку ей соответствует большее число долей.

Делить общую площадь на семь нельзя: семь — только число долей овощей, а не всего хозяйства. Слово «соответственно» также важно: оно запрещает поменять зерновые и овощные местами.

Пример 4. Сумма после удержания части

Задание 15

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 4

Налог на доходы составляет $13\%$ от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна $32000$ рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

В этой задаче ставка задана условием. После удержания тринадцати процентов остаётся восемьдесят семь процентов исходной суммы:

100-13=87,\qquad32000\cdot0{,}87=27840.

Ответ: $27840$ . Проверка через размер удержания:

32000\cdot0{,}13=4160,\qquad27840+4160=32000.

Полученная сумма меньше начисленной, а разница составляет именно долю из условия. В бланк переносят число без разделительного пробела между тысячами и без слова «рублей».

По математической структуре эта задача совпадает со скидкой: из исходной величины вычитают её процентную часть. Сюжет меняется, но выбор базы и коэффициента остаётся тем же.

Типичные ошибки

Вычесть число процентов как денежную сумму. Пять процентов — не пять рублей. Сначала находят долю исходной цены.
Записать размер изменения вместо нового значения. После вычисления прибавки или скидки вернитесь к вопросу и при необходимости прибавьте или вычтите её.
Считать процент от другой базы. В обратной задаче нельзя отменить увеличение простым уменьшением на тот же процент от новой суммы.
Сложить последовательные проценты. Если база меняется после первого шага, нужно перемножать коэффициенты.
Разделить целое только на одно число отношения. При известной общей сумме сначала складывают количество долей всех частей.
Перепутать порядок после слова «соответственно». Подпишите, какой части относится каждое число отношения.
Округлить без требования. Точный ответ может быть конечной десятичной дробью; преждевременное округление меняет результат.

Связь с другими заданиями

Точный счёт с дробями из задания 14 помогает вычислять коэффициенты без ошибок. В задании 20 проценты входят в задачи о растворах, где нужно дополнительно учитывать массу вещества и смеси. Доли и отношения также полезны в практических задачах задания 1. Общая привычка — связывать каждую дробь с конкретным целым.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: процентная часть

Повторите перевод процентов в доли и нахождение части числа. Чередуйте деньги, площади и количества. Перед вычислением называйте базу, после — единицы результата. Обратной проверкой находите, какой процент составляет полученная часть.

Вторая неделя: увеличение и уменьшение

Решайте задачи двумя способами: через размер изменения и через коэффициент. Сравнивайте промежуточный результат и окончательный ответ. Добавьте обратные задачи, в которых известна новая цена, а требуется старая.

Если путаете коэффициенты, сначала запишите итоговый процент словами: исходное целое плюс прибавка или минус удержание. Только затем переходите к десятичной записи.

Третья неделя: отношения

Разделяйте общую величину на две или несколько частей. Подписывайте количество долей, находите одну долю и проверяйте сумму результатов. Чередуйте случаи, когда известна общая сумма и когда известна только одна часть.

Четвёртая неделя: смешанная практика

Решайте разные сюжеты без указания метода. Ориентир ФИПИ — восемь минут на проверенный ответ. Включайте последовательные изменения, чтобы удерживать базу каждого процента. Если ошиблись, выясните, неверно ли выбрана величина или допущена арифметическая ошибка.

Повторите неудачные задачи через несколько дней. Завершайте каждую коротким объяснением: что принято за целое, какая доля найдена и почему именно её нужно записать.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 15

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 8 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Умножьте исходную цену на оставшуюся долю: сто процентов минус процент скидки. Можно сначала найти размер скидки и вычесть его из цены. В ответе различайте экономию и сумму к оплате.

Разделите конечное значение на коэффициент увеличения или уменьшения. Затем примените изменение к найденному исходному числу и проверьте, что получилось известное конечное значение.

Если известна общая сумма, сложите числа отношения, разделите сумму на полученное количество долей и умножьте одну долю на число долей нужной части. Проверьте и сумму частей, и их отношение.

Обычно нет: каждый следующий процент считается от уже изменённого значения, поэтому коэффициенты перемножаются. Если условие задаёт общую неизменную базу для нескольких частей, нужно отдельно учитывать именно это.

В бланк переносят только требуемое число. Сначала убедитесь, что вопрос просит процент, сумму денег или другую величину. Конечную десятичную дробь записывают с запятой, без единиц и пояснений.

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Параметры задания проверены по комплекту проектов ФИПИ по математике 2027: спецификация базового уровня, страницы 9, 11–12. Разобранные примеры взяты из демоверсии, страница 27; результаты независимо вычислены и сверены с ключами на странице 33. Примеры демонстрируют возможные формулировки и не являются исчерпывающим перечнем задач.

Правила краткого ответа приведены в инструкции демоверсии. Советы по решению, разбор ошибок и план подготовки — учебные рекомендации статьи. Последующие редакции документов доступны в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельной практике

Выберите следующий пример, выполните решение на черновике и проверьте его по исходному условию. Устойчивый навык складывается из понятных шагов и самостоятельной проверки.

Решать задание 15 Банк базовой математики Другие разборы