Задание 21 ЕГЭ по математике (база) 2027: логические задачи

Количество людей, вопросов, строк или предметов — целое число. Решение уравнения в действительных числах ещё не решает такую задачу: нужно учесть допустимые целые значения и их диапазон. Иногда одно уравнение с двумя неизвестными вместе с целочисленностью и ограничением сверху даёт единственный ответ.

Обращайте внимание на делимость. Если одна часть равенства заведомо кратна определённому числу, вторая тоже должна быть кратна ему. В примере викторины это позволило перебирать количество ошибок через пять, а не каждое число подряд.

Не округляйте дробное число людей или вопросов до ближайшего целого. Если модель требует целого результата, дробный кандидат либо не подходит, либо указывает на ошибку составления равенства. Округление не восстанавливает нарушенные условия.

Если каждый объект вносит вклад в известном диапазоне, общий результат ограничивает число объектов. Для положительных вкладов можно разделить общую сумму на наибольший и наименьший возможные вклады и получить границы количества.

Если допустимые вклады целые, строгие границы можно уточнить. Сумма натуральных чисел, строго большая двадцати и строго меньшая двадцати трёх, равна двадцати одному или двадцати двум. Это сильнее приблизительного утверждения «около двадцати».

После нахождения узкого промежутка проверьте, сколько целых чисел в него попало. Если одно — количество определено. Если несколько — нужна дополнительная информация или дальнейший разбор случаев.

Одну величину можно посчитать разными способами. Сумма всех чисел таблицы одинакова при сложении по строкам и по столбцам. Количество связей между двумя группами можно посчитать со стороны каждой группы. Сумма длин частей остаётся той же при другом объединении.

Прежде чем составлять равенство, назовите, что именно считается. Если слева число людей, а справа число пар, равенство не обосновано. При подсчёте связей учитывайте, сколько раз каждая связь попала в сумму: один раз или два.

Такой способ особенно полезен, когда отдельные значения неизвестны, но их общая сумма или кратность фиксирована. Не нужно восстанавливать всю таблицу, чтобы посчитать количество строк.

В задаче с несколькими частями попробуйте выразить нужный результат через суммы и разности известных. Необязательно находить каждую длину отдельно: при подходящем сложении промежуточные неизвестные сокращаются.

Для разбиения прямоугольника общие ширины и высоты входят в периметры соседних частей. Сумма периметров одной пары противоположных частей равна сумме другой пары. Это следует из формул сторон и не зависит от масштаба рисунка.

Сначала выведите связь буквами, затем подставьте числа. Так видно, какие элементы действительно сокращаются, и не возникает ложного правила, основанного на одном удачном примере.

Если расположение неизвестно, перечислите возможные взаимные положения. Используйте симметрию: на кольцевой дороге можно выбрать направление отсчёта так, чтобы один объект оказался справа по выбранной дуге. Это не меняет расстояния, но уменьшает число зеркальных схем.

Каждую схему проверяйте по всем расстояниям. На окружности между двумя точками есть две дуги, и кратчайшая не обязана совпадать с той, которую вы сначала нарисовали. Длина кратчайшей дуги не превышает половины окружности.

Подходящий рисунок подтверждает возможность ответа, а исключение остальных случаев — его определённость. Не считайте расположение заданным, если условие лишь перечисляет названия объектов.

21

Задание 21

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 2

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны $24$, $28$ и $16$. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a,b$, высоты верхнего и нижнего рядов — через $c,d$. Периметры равны:

При сложении противоположных частей каждое из четырёх измерений учитывается одинаково:

Ответ: $12$. Проверка существования: можно взять ширины $2$ и $4$, высоты $10$ и $4$. Тогда периметры действительно равны $24,28,16,12$. Это вспомогательная проверка; реальные длины исходного прямоугольника находить не требовалось.

Пусть длина кольца равна $L$. Кратчайшее расстояние от А до Б равно $110$ км, поэтому длина кольца не меньше удвоенного этого расстояния:

Выберем направление отсчёта от А так, чтобы Г находилась на отметке $55$ км. От Г до В кратчайшая дуга равна $80$ км. Значит, В может располагаться либо ещё на восемьдесят километров вперёд, на отметке $135$, либо на восемьдесят назад — на отметке $-25$ относительно А.

Во втором случае кратчайшее расстояние от А до В было бы $25$ км: при длине кольца не меньше $220$ другая дуга гораздо длиннее. Это противоречит данным $85$ км. Остаётся отметка $135$.

Одна дуга от А до В имеет длину $135$ км. Кратчайшая равна $85$, следовательно, именно другая дуга имеет эту длину:

Б находится в $110$ км от А, то есть напротив неё на кольце длины $220$. Её отметка — $110$. Поэтому расстояние от Б до В:

Ответ: $25$. Проверка всех расстояний по полученной схеме: А — отметка $0$, Г — $55$, Б — $110$, В — $135$. До В от А короче идти по дуге длины $220-135=85$; между Г и В — $80$; остальные расстояния совпадают с условием. Между Б и В другая дуга равна $195$, поэтому искомая кратчайшая — действительно двадцать пять.

Посчитаем сумму всех клеток по столбцам:

Сумма в строке — целое число строго между двадцатью и двадцатью тремя. Поэтому она равна $21$ или $22$. Если строк $n$, то:

Пятнадцати строк мало даже при наибольшей сумме в каждой, а семнадцати слишком много даже при наименьшей:

Остаётся $n=16$. Ответ: $16$. Проверка по суммам строк: шестнадцать строк по двадцать два дали бы $352$. Значит, одна строка имеет сумму $21$, остальные пятнадцать — $22$. Восстанавливать каждую клетку не требуется: существование таблицы дано условием, а оценки однозначно определили число строк.

Решайте задачи с несколькими видами действий: правильные и неправильные ответы, выигрыши и штрафы. Записывайте уравнение результата и отдельное ограничение на общее число действий. Сокращайте перебор через делимость.

Тренируйте подсчёт таблиц по строкам и столбцам. Переводите строгие границы для целых величин в точные допустимые значения. Сначала получите верхнюю и нижнюю оценки, затем проверяйте оставшиеся целые кандидаты.

Решайте задачи о расположении объектов, разбиениях и общих частях. Рисуйте только связи, заданные условием. Для кольца отмечайте обе дуги, для прямоугольника — общие ширины и высоты. Исключайте неподходящие схемы с явным указанием противоречия.

Выбирайте задачи разных сюжетов без подсказки о методе. Ориентир ФИПИ — пятнадцать минут. Если долго перебираете, остановитесь и проверьте, использованы ли целочисленность, границы и все словесные ограничения.

После решения кратко объясните главный вывод. Через несколько дней повторите задачи с ошибками и попробуйте восстановить логику, а не запомненное число.