Задание 19 ЕГЭ по математике (база) 2027: числа, цифры и делимость

Цифра занимает определённый разряд. Перестановка цифр сохраняет их сумму и произведение, но обычно меняет само число и его делимость. Условие «цифры различны» запрещает повторение; «каждая следующая больше предыдущей» дополнительно задаёт порядок.

Черта обозначает запись числа из цифр. Для четырёхзначного числа первая цифра не нулевая. Если после вычёркивания впереди остаётся нуль, надо внимательно проверить требуемую разрядность: ведущий нуль не создаёт дополнительный разряд натурального числа.

Чётное число — это число с чётной последней цифрой. Фраза «все цифры чётные» сильнее: она относится к каждому разряду. Нуль является чётной цифрой и может использоваться, если остальные ограничения его не запрещают.

Для составного делителя удобно использовать взаимно простые множители. Делимость на двенадцать проверяется по трём и четырём; на восемнадцать — по двум и девяти; на сорок пять — по пяти и девяти; на двадцать два — по двум и одиннадцати.

Нельзя произвольно брать любые два делителя и считать их произведение достаточным. Например, делимость на два и на четыре гарантирует делимость на четыре, но сама по себе не гарантирует делимость на восемь. Без взаимной простоты ориентируются на наименьшее общее кратное.

Если при делении числа на положительный делитель получается остаток, число представляется как произведение делителя на целое частное плюс остаток. Остаток неотрицателен и меньше делителя.

При одинаковом остатке от деления на два числа разность между искомым числом и остатком делится на оба делителя. Это сводит задачу к кратности их наименьшему общему кратному. Если остатки должны быть ненулевыми, условие нельзя потерять после преобразования.

Не путайте остаток с последней цифрой. Последняя цифра совпадает с остатком от деления на десять, но при другом делителе требуется отдельный расчёт. Проверка делением с остатком часто короче повторного перебора.

Начинайте с ограничения, оставляющего меньше всего вариантов. Последняя цифра по делимости, произведение цифр с небольшим числом множителей, строго возрастающий порядок или узкий диапазон обычно сильнее общих слов о натуральности.

Затем проверяйте оставшиеся условия в дешёвом порядке: сначала сумма цифр или последние разряды, после — полное деление. Записывайте небольшую таблицу кандидатов и причину исключения. Это предотвращает повторную проверку одного числа и случайный пропуск.

Если требуется любое число, после полной проверки подходящего кандидата можно остановиться. Если требуется наибольшее или наименьшее, надо ещё обосновать отсутствие лучшего: например, идти по кандидатам в убывающем или возрастающем порядке без пропусков.

Вычеркнуть цифры — значит удалить некоторые позиции, сохранив относительный порядок остальных. Переставлять уцелевшие цифры нельзя. Поэтому сначала полезно выбрать допустимую последнюю цифру, а затем искать нужную последовательность слева от неё.

При проверке отмечайте позиции в исходной записи, а не только набор цифр. Два одинаковых символа могут стоять в разных местах, и выбор конкретного вхождения влияет на возможность собрать ответ. После построения пересчитайте число удалённых и оставшихся цифр.

Можно перебирать перестановки цифр первого числа, сразу исключая слишком большие первые цифры: удвоенное число должно оставаться четырёхзначным. Попробуем начать с единицы. Из требования о нижней границе следует, что второй разряд должен быть шестёркой или восьмёркой.

Выберем начало $16$. Для последних разрядов остаются тройка и восьмёрка. Первый кандидат $1638$ проверяем удвоением:

Ответ: $1638$. Проверка: первое число содержит ровно цифры $1,3,6,8$; второе — ровно $2,3,6,7$; оба четырёхзначные; второе вдвое больше; первое больше $1500$. Кандидат подошёл, поэтому искать все остальные перестановки не требуется.

Проверка должна сохранять роли чисел: в ответ спрашивают $A$, а не его удвоенное значение. Даже верно найденная пара не защищает от ошибки при переносе.

Нулей быть не может: они обнулили бы произведение. Разложение $10=2\cdot5$ показывает, что четыре цифры должны быть $1,1,2,5$. Других ненулевых цифр с простыми множителями, не входящими в десятку, использовать нельзя.

Сумма цифр равна $9$, поэтому любая перестановка этого набора делится на три. Для кратности двенадцати остаётся обеспечить делимость на четыре. Последняя цифра должна быть чётной, значит, это двойка. Подходящий конец — $52$. Перед ним остаются две единицы.

Ответ: $1152$. Проверка: разрядность соблюдена, произведение цифр верно, деление на двенадцать точное. Повторение единиц разрешено: в этой формулировке нет требования различия всех цифр. Нельзя переносить ограничения из предыдущей задачи в новую.

После удаления трёх цифр из восьми останется пятизначная запись. Для делимости на двадцать два число должно делиться на два и одиннадцать. Последняя цифра чётная. Выберем двойку, стоящую перед последней семёркой: значит, семёрку нужно удалить.

До двойки расположена последовательность $453415$. Нужно сохранить четыре цифры из неё. Попробуем первые четыре — $4534$. Получается кандидат $45342$. Проверяем признак одиннадцати:

Последняя цифра чётная, разность сумм кратна одиннадцати. Полное деление подтверждает результат:

Ответ: $45342$. Проверка вычёркивания: сохранены первая, вторая, третья, четвёртая и седьмая позиции исходного числа. Удалены пятая, шестая и восьмая — ровно три цифры. Порядок сохранённых цифр не менялся. Это условие проверяется отдельно от делимости.

Повторите признаки для двух, трёх, четырёх, пяти, девяти и одиннадцати. Проверяйте составные делители через взаимно простые множители. В нескольких первых задачах подтверждайте признак полным делением, чтобы видеть связь короткого правила и результата.

Решайте задачи с разными и возрастающими цифрами, ограничением на сумму и произведение. До перебора выписывайте допустимый набор цифр. Отдельно контролируйте первый и последний разряды: именно они часто сильнее всего ограничивают число.

Переводите остатки в равенства с целым частным. В задачах на вычёркивание отмечайте номера позиций, а не только сами цифры. Тренируйте выбор последней цифры до перебора начала записи и проверяйте число удалений.

Решайте задачи без подсказки о методе. Ориентир ФИПИ — пятнадцать минут. Сокращайте беспорядочный перебор, но сохраняйте проверку всех ограничений. Чередуйте требования «любое», «наибольшее» и «наименьшее», чтобы не останавливаться раньше необходимого.

После ошибки записывайте конкретное пропущенное условие. Повторите задачу через несколько дней и объясните, почему найденный кандидат подходит, не ссылаясь на готовый ответ.