Задание 20 ЕГЭ по математике (база) 2027: текстовые задачи

В задании 20 нужно перевести текст в математическую модель: связать расстояние, время, скорость, массу или производительность. Основная ошибка возникает до вычислений — когда уравнение описывает другой процесс. Разберём четыре реальные задачи ФИПИ и способы проверки модели, затем можно перейти в тренажёр задания 20.

Задания ФИПИ: текстовые задачи

Решите четыре задания 20 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 20

По обобщённому плану ФИПИ позиция проверяет решение текстовых задач разных типов и уравнений. В проекте демоверсии представлены движение, средняя скорость и изменение концентрации раствора. На подготовке полезны также задачи на производительность: в них действует похожая связь между объёмом результата, темпом и временем.

Параметр	Задание 20
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	15 минут
Форма ответа	Краткий числовой ответ в единицах, указанных в условии
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 20

Как выглядит формулировка

Задание 20

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 1

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в $4{,}5$ км от дома. Один идёт со скоростью $4$ км/ч, а другой — со скоростью $5$ км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

Первый продолжает идти к опушке, второй после разворота идёт ему навстречу. К моменту встречи они находились в пути одинаковое время. Сумма их пройденных расстояний равна удвоенному расстоянию до опушки: второй прошёл весь путь туда и вернулся на ту часть, которую первый ещё не прошёл.

Обозначим время от выхода до встречи через $t$ часов. Тогда:

4t+5t=2\cdot4{,}5,\qquad9t=9,\qquad t=1.

Спрашивают расстояние от дома. Его прошёл первый участник:

s=4\cdot1=4.

Ответ: $4$ . Проверка сюжета: быстрый дошёл до опушки за $4{,}5/5=0{,}9$ часа. За оставшуюся $0{,}1$ часа он вернулся на $0{,}5$ км и оказался в четырёх километрах от дома. Медленный за час прошёл ровно четыре километра. Встреча действительно произошла после разворота быстрого и до прихода медленного к опушке.

Здесь сумма скоростей используется для суммы пройденных путей за всё время. Это не означает, что участники всё время двигались навстречу: сначала они шли в одну сторону. Обоснование через общий путь сохраняет правильную модель без такого упрощения.

Теория: основные модели текстовых задач

Движение: путь, скорость и время

s=vt,\qquad t=\frac sv,\qquad v=\frac st.

Согласуйте единицы до подстановки. При скорости в километрах в час время должно быть выражено в часах, путь — в километрах. Минуты переводят делением на шестьдесят. Смешение часов и минут способно дать правдоподобное, но неверное число.

При встречном движении расстояние между участниками уменьшается со скоростью, равной сумме скоростей. При движении в одном направлении расстояние между быстрым и медленным меняется со скоростью, равной разности. Эти правила применяют к конкретному этапу, проверяя направление движения.

На реке скорость по течению — сумма собственной скорости и скорости течения, против течения — их разность. Для движения против течения собственная скорость должна быть больше скорости течения.

v_{\text{по}}=v+u,\qquad v_{\text{против}}=v-u,\qquad v>u.

Средняя скорость: весь путь делим на всё время

Средняя скорость определяется по общему расстоянию и общему времени. Среднее арифметическое скоростей подходит лишь в специальных условиях, например при равных временах движения на всех этапах. Если даны расстояния, сначала найдите время каждого участка.

v_{\text{ср}}=\frac{s_1+s_2+\dots+s_n}{t_1+t_2+\dots+t_n},\qquad t_i=\frac{s_i}{v_i}.

При остановке путь не увеличивается, а время может входить в общую продолжительность поездки — это зависит от формулировки вопроса. Читайте, за какой период требуется средняя скорость. Одинаковая длина участков не означает одинаковое время на них.

Проверка диапазона полезна: если на всём пути движение происходило с положительными скоростями без остановок, средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей. Но попадание в диапазон ещё не доказывает правильность формулы.

Растворы и смеси: что сохраняется

Масса вещества равна массе раствора, умноженной на массовую долю вещества. Процент сначала переводят в долю делением на сто. При добавлении чистой воды масса растворённого вещества сохраняется, общая масса увеличивается, концентрация уменьшается.

m_{\text{вещества}}=m_{\text{раствора}}\cdot\frac p{100},\qquad p=\frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}}\cdot100.

При смешивании двух растворов складывают массы растворов и массы вещества. Проценты напрямую не складывают. Среднее арифметическое концентраций даёт правильную смесь при равных массах исходных растворов, а в общем случае требуется учесть массу каждого.

При выпаривании воды общая масса уменьшается, а масса нелетучего растворённого вещества в школьной модели сохраняется. Если же добавляют само вещество, увеличиваются обе массы. Назовите сохраняющуюся величину до уравнения.

Работа и производительность

Объём работы равен производительности, умноженной на время. Если два исполнителя независимо выполняют одинаковые части общей работы, складывают их производительности. Времена индивидуального выполнения складывать нельзя.

A=pt,\qquad p_{\text{общ}}=p_1+p_2.

Если общий объём неизвестен и важна только доля выполненной работы, примите его за единицу. Исполнитель, выполняющий всё за определённое число часов, делает за час обратную этому числу долю. Затем сложите доли и найдите время общей работы.

В задачах о плане и факте удобно сравнивать один и тот же объём. Если работа выполнена позднее при меньшей дневной норме, произведение плановой нормы на плановые дни равно произведению фактической нормы на фактические дни. Знак изменения нормы следует из смысла срока.

Таблица помогает составить уравнение

Вынесите этапы или участников в строки, взаимосвязанные величины — в столбцы. Не заполняйте каждую клетку отдельной переменной: выразите неизвестные через одну выбранную величину, если это удобно. Над каждым числом должны быть понятные единицы.

Модель	Результат	Темп	Время
Движение	Расстояние	Скорость	Путь, делённый на скорость
Работа	Объём работы	Производительность	Объём, делённый на производительность

Уравнение появляется из конкретной связи: одинаковое время, разность времён, сумма путей, неизменный объём или сохранение вещества. Одинаковый набор чисел не определяет формулу: важны слова «навстречу», «обратно», «на столько меньше», «добавили воду».

Алгоритм решения

Прочитайте последний вопрос. Отметьте искомую величину и требуемые единицы.
Разделите процесс на этапы. Укажите участников, направления, моменты разворота или изменения состава.
Выберите неизвестное. Запишите его смысл, единицы и ограничения.
Составьте таблицу и равенство. Объясните словами, почему приравниваете именно эти выражения.
Решите модель. Отбросьте значения, не подходящие по смыслу, но не округляйте промежуточные дроби без необходимости.
Вернитесь к вопросу. Корень уравнения может быть временем, а ответом требуется расстояние.
Проверьте исходный сюжет. Восстановите времена, пути или массы и убедитесь, что все условия выполняются.

Научитесь составлять модель по тексту

Перед вычислениями объясните уравнение одним предложением. Если равенство трудно связать со словами условия, проверьте выбранную модель.

Решать текстовые задачи

Ещё три примера с разбором

Пример 2. Добавление воды в раствор

Задание 20

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 2

В сосуд, содержащий $5$ кг $27$ -процентного водного раствора вещества, добавили $4$ кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Чистая вода не добавляет растворённого вещества. Его масса до и после смешивания одинакова:

m=5\cdot\frac{27}{100}=1{,}35\text{ кг}.

Новая масса раствора равна сумме исходной массы и добавленной воды:

M=5+4=9\text{ кг},\qquad p=\frac{1{,}35}{9}\cdot100=15.

Ответ: $15$ . Проверка: в девяти килограммах пятнадцатипроцентного раствора содержится $9\cdot0{,}15=1{,}35$ кг вещества — ровно столько же, сколько было. Концентрация уменьшилась, как и должна при разбавлении. В ответе спрашивают проценты, поэтому записывают $15$ , а не долю $0{,}15$ .

Пример 3. Средняя скорость на трёх участках

Задание 20

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 3

Первые $120$ км автомобиль ехал со скоростью $60$ км/ч, следующие $200$ км — со скоростью $100$ км/ч, а затем $160$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Вычислим время каждого этапа. Дробь на третьем участке оставим точной.

t_1=\frac{120}{60}=2,\qquad t_2=\frac{200}{100}=2,\qquad t_3=\frac{160}{120}=\frac43.

Общий путь и общее время:

s=120+200+160=480,\qquad t=2+2+\frac43=\frac{16}{3}.

Теперь применим определение средней скорости:

v_{\text{ср}}=\frac{480}{16/3}=480\cdot\frac3{16}=90.

Ответ: $90$ . Проверка: движение с такой постоянной скоростью за $16/3$ часа дало бы путь $90\cdot16/3=480$ км. Значение лежит между минимальной и максимальной скоростями. Среднее арифметическое трёх скоростей здесь неприменимо: время на участках неодинаково.

Пример 4. Расстояние до места встречи

Задание 20

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027, пример 4

Из городов $A$ и $B$ , расстояние между которыми равно $270$ км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через $2$ часа на расстоянии $160$ км от города $B$ . Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города $A$ . Ответ дайте в км/ч.

Число $160$ относится к пути автомобиля из города $B$ . Искомый автомобиль прошёл оставшуюся часть общей дороги:

s_A=270-160=110\text{ км},\qquad v_A=\frac{110}{2}=55\text{ км/ч}.

Ответ: $55$ . Проверка через второго участника: его скорость равна $160/2=80$ км/ч. Сумма скоростей — $135$ км/ч, за два часа автомобили вместе преодолели $270$ км. Если разделить на время расстояние от города $B$ , получится скорость другого автомобиля.

Не каждая текстовая задача требует сложного уравнения. Если искомая величина находится двумя арифметическими действиями, такой способ полностью решает задачу. Важно правильно связать каждое число с участником.

Типичные ошибки

Считать среднюю скорость средним арифметическим. Сначала найдите общий путь и всё время, затем разделите.
Перепутать расстояние от одного города с путём другого участника. Сделайте короткую схему с точкой встречи и подпишите оба отрезка.
Смешать единицы времени. Часы и минуты нужно привести к одной системе до подстановки в формулу.
Складывать проценты растворов. Складывают массы вещества и общие массы. Процент вычисляют из нового отношения.
Сложить времена исполнителей. При совместной работе складываются производительности. Полученное время должно быть меньше времени каждого по отдельности при положительных независимых вкладах.
Записать найденное неизвестное вместо ответа на вопрос. В первом примере неизвестное — время, но спрашивают расстояние.
Принять отрицательную скорость или массу. Алгебраический корень проверяют по ограничениям модели и по исходному условию.

Связь с другими заданиями

Проценты и отношения из задания 15 нужны для смесей. Решение составленного уравнения опирается на задание 17. В задании 21 также переводят текст в ограничения, но часто добавляются целочисленность, перебор и оценки. Во всех случаях сначала определяют смысл величин, затем выполняют вычисления.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: движение

Решайте задачи на встречу, догонку и движение по реке. В каждом случае отмечайте направления и единицы. Составляйте таблицу пути, скорости и времени даже для простых примеров, пока связь между столбцами не станет очевидной.

При развороте разделяйте процесс на этапы или обосновывайте общую сумму путей. Не применяйте скорость сближения ко всему времени, если направление менялось.

Вторая неделя: средняя скорость и работа

Чередуйте разные расстояния и разные времена участков. Вычисляйте среднюю скорость только через общие величины. Затем переходите к производительности: сравнивайте формулы движения и работы, сохраняя смысл каждой переменной.

Третья неделя: растворы

Для каждой смеси сначала выписывайте массу вещества. Отдельно решайте добавление воды, смешивание растворов и изменение общей массы. После ответа проверяйте, какая величина сохранялась и почему концентрация изменилась в нужную сторону.

Четвёртая неделя: смешанная практика

Решайте без указания типа задачи, отсчитывая время от чтения до проверки. Ориентир ФИПИ — пятнадцать минут. Если ошибаетесь в модели, не ускоряйте вычисления: сначала восстановите таблицу и словесное объяснение равенства.

В журнале ошибок отмечайте этап: неверно понято условие, выбрана формула, составлено уравнение, выполнено вычисление или записан ответ. Возвращайтесь к задачам с ошибками через несколько дней.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 20

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 15 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Разделите весь пройденный путь на общее затраченное время. Если даны участки со своими скоростями, сначала найдите время каждого. Среднее арифметическое скоростей подходит только при специальных условиях, например равных временах.

Масса растворённого вещества сохраняется, а общая масса раствора увеличивается. Новую концентрацию находят как отношение прежней массы вещества к новой массе раствора, умноженное на сто процентов.

Выберите величину, через которую удобно выразить остальные данные. Запишите её смысл, единицы и ограничения. Она не обязана совпадать с искомой величиной, но после решения нужно вернуться к вопросу задачи.

Нет. Если задача решается понятной цепочкой арифметических действий, этого достаточно. Уравнение полезно, когда оно ясно выражает связь величин и упрощает поиск неизвестного.

Вычислите величину в единицах, которые просит условие, а в бланк перенесите только число. Не добавляйте обозначение скорости, массы или знак процента. Конечную десятичную дробь записывают с запятой.

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Параметры задания проверены по комплекту проектов ФИПИ по математике 2027: спецификация базового уровня, страницы 9, 11–12. Разобранные примеры взяты из демоверсии, страница 31; результаты независимо вычислены и сверены с ключами на странице 33. Примеры демонстрируют возможные формулировки и не являются исчерпывающим перечнем задач.

Правила краткого ответа приведены в инструкции демоверсии. Советы по решению, разбор ошибок и план подготовки — учебные рекомендации статьи. Последующие редакции документов доступны в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельной практике

Выберите следующий пример, выполните решение на черновике и проверьте его по исходному условию. Устойчивый навык складывается из понятных шагов и самостоятельной проверки.

Решать задание 20 Банк базовой математики Другие разборы