Задание 12 ЕГЭ по математике (база) 2027: планиметрия: треугольники и окружность

В задании 12 нужно связать данные плоской фигуры с её свойствами: найти сторону, угол, медиану или площадь. Часто короткое решение начинается с одного дополнительного отрезка — высоты или радиуса. Разберём четыре реальные задачи ФИПИ и проверим результаты, затем закрепим метод в тренажёре задания 12.

Задания ФИПИ: планиметрия

Решите четыре задания 12 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 12

По обобщённому плану ФИПИ задание 12 проверяет применение изученных фактов и теорем планиметрии. В проекте демоверсии 2027 представлены равнобедренный и прямоугольный треугольники, хорда окружности и площадь. При подготовке полезно связывать свойства фигур, а не подбирать формулу только по числам.

Параметр	Задание 12
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	8 минут
Форма ответа	Краткий числовой ответ
Оценивание	Полностью верный ответ в указанной форме

Время в таблице — ориентир из обобщённого плана, а не отдельный лимит на задачу. Балл зависит от ответа: за правильную идею с вычислительной ошибкой частичный балл не предусмотрен. На тренировке оставляйте время на проверку и перенос результата.

Проверьте себя до чтения разбора

Решите одну задачу самостоятельно. Затем сравните ход решения с алгоритмом статьи и определите, какой шаг требует тренировки.

Решить задание 12

Как выглядит формулировка

Задание 12

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC=65$ , $AC=104$ . Найдите длину медианы $BM$ .

Равнобедренный треугольник ABC с медианой BM к основанию AC — Рисунок из проекта демоверсии ФИПИ 2027.

Медиана делит основание пополам. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

AM=\frac{104}{2}=52,\qquad BM=\sqrt{65^2-52^2}=\sqrt{4225-2704}=\sqrt{1521}=39.

Ответ: $39$ . Проверка: $39^2+52^2=1521+2704=4225=65^2$ . Медиана короче боковой стороны — гипотенузы полученного прямоугольного треугольника.

Нельзя применять свойство «медиана является высотой» к произвольному треугольнику. Здесь его обеспечивает равенство боковых сторон и проведение медианы именно к основанию. Если пропустить это обоснование, верная формула может случайно использоваться в неподходящей ситуации.

Теория: свойства, которые соединяют данные

Высота, медиана и биссектриса

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону. Биссектриса делит угол пополам. В общем треугольнике это три разных отрезка: один термин не даёт автоматически свойств другого.

В равнобедренном треугольнике отрезок из вершины между равными сторонами к середине основания обладает всеми тремя свойствами. Он делит фигуру на два равных прямоугольных треугольника. Это позволяет найти высоту по половине основания и боковой стороне.

h=\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2},

где $a$ — основание, а $b$ — боковая сторона. Перед подстановкой проверьте, какая сторона является основанием: оно лежит напротив угла между равными сторонами.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и это же построение работает из любой вершины. В произвольном треугольнике удобная высота может выйти за пределы фигуры. Это не делает её неверной: она должна быть перпендикулярна прямой основания.

Теорема Пифагора и выбор гипотенузы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, поэтому её нужно определить до вычислений. Самая длинная на картинке сторона не является достаточным доказательством: ориентируйтесь на обозначение угла.

c^2=a^2+b^2,\qquad a=\sqrt{c^2-b^2}.

Если ищете гипотенузу, квадраты складываются; если катет — вычитаются. Полученное подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Отрицательный результат часто означает, что гипотенузу и катет поменяли местами или потеряли корень в данных.

Не округляйте корни раньше времени. При возведении длины с корнем в квадрат радикал часто исчезает. Скобки помогают увидеть, что коэффициент перед корнем тоже возводится в квадрат.

(2\sqrt5)^2=4\cdot5=20.

Для проверки найденной стороны восстановите исходное равенство квадратов. Дополнительно сравните длины: каждый катет меньше гипотенузы. Такая проверка обнаруживает ошибку выбора стороны даже до повторного счёта.

Синус, косинус и тангенс острого угла

Тригонометрические отношения связывают стороны прямоугольного треугольника с выбранным острым углом. Противолежащий катет не касается этого угла, прилежащий является одной из его сторон. Второй стороной угла служит гипотенуза.

Отношение	Формула
Синус	$\sin\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
Косинус	$\cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
Тангенс	$\tan\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

При переходе к другому острому углу названия катетов меняются местами. Поэтому недостаточно помнить «катет разделить на гипотенузу»: для синуса и косинуса нужны разные катеты относительно указанного угла.

Синус и косинус острого угла положительны и меньше единицы. Если в ответе получилось число больше единицы, вероятно, дробь перевёрнута. У тангенса такого ограничения сверху нет, поэтому эту проверку нельзя переносить на него автоматически.

Окружность: радиус, диаметр и вписанный угол

Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам. Если диаметр является стороной вписанного треугольника, угол напротив него прямой: он опирается на полуокружность. Так задача о двух хордах становится задачей на теорему Пифагора.

d=2r,\qquad \angle ACB=90^\circ\quad\text{при диаметре }AB.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Слово «дуга» здесь важно: углы с вершинами по разные стороны одной хорды могут опираться на разные дуги и быть дополнительными до развёрнутого угла.

У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$ . Если две хорды пересекаются внутри окружности, угол между лучами к концам одной из дуг равен половине суммы этой дуги и дуги напротив него. Не путайте такое внутреннее пересечение с вписанным углом, вершина которого находится на окружности.

\alpha=\frac{\varphi+\psi}{2}.

Здесь $\varphi$ и $\psi$ — градусные меры дуг, заключённых между сторонами выбранного угла и вертикального ему угла.

Перед применением углового свойства отметьте вершину и дугу на рисунке. Если в условии просят угол между прямыми, выбирают меньший угол; если угол назван тремя буквами, требуется именно угол с указанными лучами.

Площади и подобные фигуры

Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты к нему. В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, поэтому их можно сразу использовать как основание и высоту. Если известны две стороны и угол между ними, применяют формулу с синусом.

S=\frac12 ah,\qquad S_{\text{прямоугольного}}=\frac12 ab,\qquad S=\frac12 ab\sin\gamma.

В последней формуле $\gamma$ — угол именно между сторонами $a$ и $b$ . Если дан другой угол, непосредственная подстановка не обоснована. В равнобедренном треугольнике часто проще сначала провести высоту и найти её по теореме Пифагора.

При подобии соответствующие стороны пропорциональны. Отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. Сначала установите, какие вершины и стороны соответствуют друг другу, и только затем составляйте пропорцию.

Для четырёхугольников повторите площади прямоугольника, параллелограмма и трапеции. Высота параллелограмма и трапеции — расстояние между прямыми оснований; наклонная боковая сторона обычно ей не равна.

S_{\text{параллелограмма}}=ah,\qquad S_{\text{трапеции}}=\frac{a+b}{2}h.

Алгоритм решения задания 12

Отметьте данные на чертеже. Сохраните корни, знаки равенства сторон и обозначения углов.
Уточните искомое. Длина стороны и косинус угла — разные результаты даже при одинаковом первом вычислении.
Назовите свойство фигуры. Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой, угол на диаметре — прямой.
Добавьте нужный отрезок. Высота, радиус или диагональ должны давать полезный треугольник.
Запишите теорему и вычислите. Сохраняйте точные дроби и радикалы до конца преобразований.
Вернитесь к вопросу. После нахождения катета иногда нужно вычислить отношение или площадь.
Проверьте результат. Восстановите равенство квадратов, сравните длины или оцените диапазон тригонометрического отношения.

Найдите ключевое свойство фигуры

Перед вычислением назовите теорему, которую используете. Откройте пояснение после самостоятельной попытки и сравните построения.

Решить задание 12

Примеры с разбором

Пример 2. Хорда и диаметр

Задание 12

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

На окружности радиусом $3$ отмечена точка $C$ . Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC=2\sqrt5$ . Найдите длину хорды $BC$ .

Вписанный треугольник ABC, сторона AB является диаметром окружности — Угол ACB опирается на диаметр и является прямым.

Диаметр вдвое больше радиуса. Вписанный угол напротив диаметра прямой, поэтому $AB$ — гипотенуза. Искомая хорда является катетом.

AB=2\cdot3=6,\qquad BC=\sqrt{6^2-(2\sqrt5)^2}=\sqrt{36-20}=4.

Ответ: $4$ . Проверка: $(2\sqrt5)^2+4^2=20+16=36=6^2$ . Искомая хорда короче диаметра, как и должно быть. Если вместо диаметра взять радиус, под корнем получится отрицательное число — это сигнал неверного выбора гипотенузы.

Пример 3. Косинус после нахождения катета

Задание 12

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AB=4$ , $AC=\sqrt7$ . Найдите $\cos B$ .

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C — Для угла B прилежащий катет — BC.

Напротив прямого угла находится гипотенуза $AB$ . Для косинуса угла $B$ нужен прилежащий катет $BC$ , которого пока нет в данных. Сначала найдём его.

BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{16-7}=3,\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac34=0{,}75.

Ответ: $0{,}75$ . Проверка: $BC^2+AC^2=9+7=16$ , а полученный косинус лежит между нулём и единицей. Число $3$ было промежуточной длиной, но в ответе требуется отношение сторон.

Катет $AC$ противолежит углу $B$ . Его отношение к гипотенузе дало бы синус этого угла. Всегда указывайте выбранный угол на рисунке прежде, чем называть катет прилежащим.

Пример 4. Площадь равнобедренного треугольника

Задание 12

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC=17$ , $AC=16$ . Найдите площадь треугольника $ABC$ .

Равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами 17 и основанием 16 — Для вычисления площади проведите высоту из B к AC.

Проведём высоту из вершины $B$ к основанию. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам. Один из полученных прямоугольных треугольников имеет гипотенузу $17$ и катет $8$ .

h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15,\qquad S=\frac12\cdot16\cdot15=120.

Ответ: $120$ . Проверка другим разбиением: каждый из двух прямоугольных треугольников имеет площадь $\frac12\cdot8\cdot15=60$ . Их сумма равна $120$ . Если забыть множитель одной второй, получится площадь прямоугольника с теми же основанием и высотой.

Начало решения совпадает с примером о медиане, но последняя операция другая. Именно вопрос определяет, нужно ли остановиться на найденной высоте или использовать её для площади.

Типичные ошибки

Принимать любую медиану за высоту. Нужно условие, обеспечивающее перпендикулярность. В рассмотренных примерах это равнобедренный треугольник и медиана к основанию.
Не делить основание пополам. После проведения высоты к основанию равнобедренного треугольника катет равен половине основания.
Путать радиус и диаметр. Гипотенузой вписанного прямоугольного треугольника служит диаметр, который вдвое больше радиуса.
Терять корень в условии. Длина $\sqrt7$ не равна $7$ . Перепишите исходные данные до преобразований.
Выбирать не тот катет для косинуса. Прилежащий катет определяется относительно конкретного угла.
Забывать половину в площади треугольника. Произведение основания на высоту вдвое больше нужной площади.
Останавливаться на промежуточной стороне. После её нахождения может требоваться площадь или тригонометрическое отношение.
Судить об углах по виду картинки. Прямой угол должен следовать из условия или теоремы, а не из впечатления от рисунка.

Связь с другими заданиями

В задании 9 те же фигуры встречаются на клетчатых планах, а в задании 10 — в практических сюжетах. В задании 13 прямоугольные треугольники помогают находить высоты и диагонали пространственных тел.

Корни и дроби связывают геометрию с вычислениями задания 16. Если построение выполнено верно, но ошибки возникают в квадрате радикала или делении дробей, полезно временно отработать эти операции отдельно, затем вернуться к геометрическому примеру.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: свойства треугольников

Повторите определения медианы, высоты и биссектрисы. Чертите равнобедренные и произвольные треугольники, чтобы видеть, когда эти отрезки совпадают. Для каждого построения называйте основание и обосновывайте прямой угол.

Решайте пары задач с одинаковым первым шагом, но разными вопросами: найти высоту, затем площадь. Это помогает не переносить промежуточный результат в ответ автоматически.

Вторая неделя: Пифагор и отношения сторон

Тренируйте поиск гипотенузы и катета по двум другим сторонам. Чередуйте целые числа и корни, сохраняя точное вычисление. После каждого решения проверяйте равенство квадратов.

Для синуса, косинуса и тангенса отмечайте выбранный угол цветом на черновике. Называйте оба катета относительно него, затем записывайте отношение.

Третья неделя: окружность и площади

Повторите угол, опирающийся на диаметр, вписанные углы и свойства вписанного четырёхугольника. Отмечайте вершину угла и дугу, на которую он опирается. В задачах на площадь сначала выбирайте основание и соответствующую высоту.

Пробуйте проверять площадь двумя способами: формулой для целого треугольника и суммой площадей частей. Второй путь особенно удобен после проведения высоты.

Четвёртая неделя: выбор метода без подсказки

Решайте смешанные задачи и ориентируйтесь на восемь минут из проекта спецификации ФИПИ. Время включает чтение рисунка, построение, вычисление и проверку. Если решения пока нестабильны, сначала уберите таймер и закрепите выбор свойства.

Записывайте причину ошибки конкретно: «взял радиус вместо диаметра», «выбрал противоположный катет», «забыл половину основания». Вернитесь к этим задачам через несколько дней и решите без подсказки.

Закрепите алгоритм на новых задачах

Чередуйте разные формулировки. После ошибки записывайте её причину и повторяйте задачу через несколько дней без открытого решения.

Начать тренировку

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 12

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Уровень задания — базовый. Частичных баллов за отдельные шаги решения нет.

В проекте спецификации ФИПИ 2027 указано примерное время выполнения — 8 минут. Это ориентир для распределения времени. Начинайте с точных решений без таймера, затем тренируйте весь путь от чтения до проверки ответа.

Свойства треугольников и четырёхугольников, окружность, теорема Пифагора, площади и тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Проект демоверсии показывает отдельные возможные формулировки, а не полный перечень задач.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины между равными сторонами к основанию, является также высотой и биссектрисой. Для произвольной медианы произвольного треугольника это неверно.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Диаметр отсекает полуокружность в 180 градусов, поэтому вписанный угол, опирающийся на неё, равен 90 градусам.

Косинус острого угла равен отношению прилежащего к этому углу катета к гипотенузе. Отметьте угол на рисунке: нужный катет является одной из его сторон, а гипотенуза — другой.

В бланк краткого ответа записывают итоговое число в предусмотренной инструкцией форме. Если получается конечная десятичная дробь, переведите её в десятичную запись с запятой. Промежуточные корни, дробную черту и обозначения сторон в ответ не переносят.

В опубликованном проекте спецификации ФИПИ 2027 указано, что изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи материалы имеют статус проекта; окончательную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Параметры задания проверены по комплекту проектов ФИПИ по математике 2027: спецификация базового уровня, страницы 9, 11–12. Разобранные примеры взяты из демоверсии, страницы 24–25; результаты независимо вычислены и сверены с ключами на странице 33. Примеры демонстрируют возможные формулировки и не являются исчерпывающим перечнем задач.

Правила краткого ответа приведены в инструкции демоверсии. Советы по решению, разбор ошибок и план подготовки — учебные рекомендации статьи. Последующие редакции документов доступны в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельной практике

Выберите следующий пример, выполните решение на черновике и проверьте его по исходному условию. Устойчивый навык складывается из понятных шагов и самостоятельной проверки.

Решать задание 12 Банк базовой математики Другие разборы