Задание 9 ЕГЭ по математике (база) 2027: площади на клетчатой бумаге

В задании 9 нужно найти или оценить площадь фигуры по рисунку и масштабу сетки. Участок может иметь форму треугольника, трапеции или составной фигуры; в других сюжетах встречаются круги и очертания водоёмов. Главный навык — увидеть простую геометрическую модель и правильно учесть площадь клетки. Решите задания ФИПИ ниже и продолжите в тренажёре задания 9.

Задания ФИПИ: геометрия на клетчатой бумаге и масштаб

Решите четыре задания 9 по базовой математике прямо в статье. Введите ответ, проверьте себя и разберите решение.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 9

По проекту спецификации задание проверяет применение фактов и теорем планиметрии и оценку размеров объектов окружающего мира. В демоверсии представлены точные площади участков на сетке и приближённая площадь озера на карте. Поэтому важно различать вычисление по геометрическим данным и оценку по неровному контуру.

Параметр	Задание 9
Уровень сложности	Базовый
Максимальный балл	Один первичный балл
Примерное время по спецификации	Шесть минут
Ответ	Числовое значение площади; округление — только при прямом указании
Условие получения балла	Полностью верный краткий ответ; частичных баллов нет

Указанное время — ориентир для распределения работы, а не отдельный жёсткий лимит. На тренировке учитывайте чтение условия, решение и проверку записи. Верное рассуждение с неверным числом в бланке не приносит балл.

Проверьте, что вы считаете по клеткам

Начните с одного рисунка. Назовите фигуру, основание, высоту и площадь клетки до подстановки в формулу.

Решить задание 9

Как выглядит формулировка

Задание 9

ФИПИ

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\text{ м}\times1\text{ м}$ . Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Трапеция на сетке: основания четыре и шесть клеток, высота три клетки — Исходный рисунок к заданию ФИПИ.

На рисунке трапеция: верхнее основание занимает четыре клетки, нижнее — шесть, расстояние между ними — три. Так как сторона клетки равна одному метру, эти же числа задают длины в метрах.

S=\frac{a+b}{2}h=\frac{4+6}{2}\cdot3=15.

Ответ: $15$ . Проверка другим способом: слева прямоугольник площадью $4\cdot3=12$ , справа прямоугольный треугольник с катетами $2$ и $3$ , его площадь $3$ . Сумма $12+3=15$ совпала. Наклонная сторона не нужна для вычисления площади.

Теория: какие площади нужно уметь находить

Масштаб сетки и площадь клетки

Одна клетка на рисунке не всегда соответствует одному квадратному метру. Условие может задавать длину стороны клетки в метрах или километрах либо сразу площадь клетки. Это разные исходные данные.

Если сторона клетки равна $s$ , её площадь равна $s^2$ . Если фигура занимает $q$ клеток по площади, получаем:

S=q\,s^2.

Если площадь клетки уже дана, повторно возводить её в квадрат нельзя. Просто умножьте количество клеточных площадей на эту величину. Так, фраза «площадь клетки равна четырём квадратным метрам» не означает, что сторона клетки равна четырём метрам.

Что задано	Площадь клетки
Сторона $1\text{ м}$	$1\text{ м}^2$
Сторона $2\text{ м}$	$4\text{ м}^2$
Сторона $1\text{ км}$	$1\text{ км}^2$
Площадь клетки прямо равна $400\text{ м}^2$	$400\text{ м}^2$

Не измеряйте рисунок линейкой на экране: размер изображения меняется при масштабировании страницы. Число клеток и заданный шаг сетки сохраняют математический смысл независимо от отображения.

Основание и высота треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту:

S=\frac12 ah.

Основанием можно выбрать любую сторону, но высота должна быть перпендикулярна именно ей. На сетке удобно брать горизонтальную или вертикальную сторону: тогда высота читается по клеткам в другом направлении.

Если основание вертикальное, высота горизонтальна. Не ищите обязательно нижнюю сторону рисунка: поворот фигуры не меняет формулу. Высота может падать на продолжение основания за пределами стороны; это не мешает вычислению площади.

Наклонная боковая сторона обычно не является высотой. Чтобы не применять теорему Пифагора без необходимости, посмотрите, можно ли выбрать другое основание и посчитать перпендикулярное расстояние по сетке.

Прямоугольник, параллелограмм и трапеция

Фигура	Формула площади	Что обозначено
Прямоугольник	$S=ab$	Длины двух соседних сторон
Параллелограмм	$S=ah$	Основание и перпендикулярная ему высота
Трапеция	$S=\frac{a+b}{2}h$	Два параллельных основания и расстояние между ними

У трапеции основания могут быть вертикальными. Расстояние между ними тогда считают горизонтально. Важно определить параллельность, а не выбрать две стороны, которые выглядят наиболее длинными.

У параллелограмма произведение двух наклонных соседних сторон не равно площади в общем случае. Нужна высота. Сетка помогает отделить реальную длину стороны от её горизонтального или вертикального смещения.

Считайте промежутки между линиями, а не сами линии. Если сторона начинается на одной линии сетки и заканчивается на пятой по счёту вместе с начальной, между ними четыре клетки. Ошибка на одну клетку затем умножается на высоту и заметно меняет площадь.

Разбиение и дополнение до прямоугольника

Сложный многоугольник можно разделить на прямоугольники и треугольники, найти их площади и сложить. Либо заключить его в удобный прямоугольник и вычесть внешние части. Выбирайте способ с меньшим числом вычислений.

S_{\text{фигуры}}=S_{\text{прямоугольника}}-S_{\text{лишних частей}}.

При вычитании важно, чтобы лишние части не перекрывались и вместе покрывали всё пространство вне фигуры внутри прямоугольника. Если одну область учесть дважды или оставить небольшой треугольник, ответ изменится.

Разбиение должно быть геометрически точным. Половина клетки получается, когда проведена диагональ квадрата; произвольная наклонная граница не обязана делить каждую пересечённую клетку пополам. Лучше вычислить площадь большого треугольника по основанию и высоте, чем объявлять все краевые кусочки половинками.

В качестве проверки полезно применить второй способ к тому же рисунку. Совпадение площади по формуле трапеции и по разбиению подтверждает и счёт клеток, и выбор высоты.

Круг, кольцо и отношение радиусов

Площадь круга выражается через радиус:

S=\pi r^2.

Если один радиус в $k$ раз больше другого, площадь соответствующего круга больше в $k^2$ раз. Это позволяет решить задачу без приближённого значения числа $\pi$ , когда площадь меньшего круга уже известна.

R=kr\quad\Rightarrow\quad S_{\text{большого}}=k^2S_{\text{малого}}.

У кольца площадь равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов:

S_{\text{кольца}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2).

Не заменяйте разность квадратов квадратом разности радиусов. Толщина кольца — линейная величина, и круг с таким радиусом не совпадает с кольцом. Если отношение радиусов видно по сетке, сначала найдите отношение площадей, затем вычтите внутреннюю часть.

Радиус идёт от центра до окружности, диаметр — через центр от края до края. Можно сравнивать и диаметры: их отношение совпадает с отношением радиусов. Но нельзя делить внешний диаметр на внутренний радиус.

Приближённая площадь неровного контура

Очертания озера или острова не состоят из точных отрезков сетки. Здесь условие может прямо просить оценку и округление. Сначала отделите нужный объект от фона, затем мысленно сложите целые клетки и части граничных клеток.

Удобно идти горизонтальными полосами шириной в одну клетку. В каждой оцените, сколько целых клеток получится, если сложить все занятые фрагменты. Маленькие части объединяйте, а почти полные клетки учитывайте вместе с недостающими участками соседних.

Нельзя считать каждую задетую клетку целой: получится завышение. Нельзя игнорировать все неполные клетки: получится занижение. Для надёжной оценки полезно сравнить эти крайние подходы, а затем уточнить доли у границы.

Округление выполняется после умножения на площадь клетки и только с требуемой точностью. Для точного многоугольника на сетке дробная площадь сама по себе не является причиной округлять её до целого.

Алгоритм решения задания 9

Уточните объект. Вся фигура, заштрихованная часть, озеро или остров?
Прочитайте масштаб. Задана сторона клетки или сразу её площадь?
Выберите геометрическую модель. Треугольник, трапеция, разбиение, разность кругов либо оценка по фрагментам.
Снимите нужные размеры. Считайте клеточные промежутки и проверяйте перпендикулярность высоты.
Найдите площадь. Сначала в клеточных единицах, затем в единицах условия, если это удобно.
Выполните проверку. Другой способ, сравнение с охватывающим прямоугольником или отношение площадей.
Запишите ответ. Округляйте только по требованию; единицы в бланк не добавляйте.

Чертёж для себя можно слегка дополнить на черновике: провести высоту или охватывающий прямоугольник. Это помогает увидеть данные, но не разрешает менять положение исходных вершин.

Найдите площадь двумя способами

Выберите многоугольник на сетке. Сравните формулу по основанию и высоте с разбиением или дополнением до прямоугольника.

Решить задание 9

Примеры с разбором

Пример 1. Треугольник с вертикальным основанием

Задание 9

ФИПИ

Треугольник с правой вертикальной стороной четыре клетки и расстоянием до левой вершины пять клеток — Исходный рисунок к заданию ФИПИ.

Выберем основанием правую вертикальную сторону. Она равна четырём метрам. Перпендикуляр от левой вершины до прямой основания проходит горизонтально и имеет длину пять метров. Его основание оказывается выше самой стороны, на её продолжении; формула площади от этого не меняется.

S=\frac12\cdot4\cdot5=10.

Ответ: $10$ . Проверка дополнением: охватывающий прямоугольник имеет ширину пять и высоту шесть клеток, его площадь $30$ . Сверху вычитается треугольник с катетами пять и два, снизу слева — с катетами пять и шесть:

30-\frac{5\cdot2}{2}-\frac{5\cdot6}{2}=30-5-15=10.

Два способа совпали. Наклонные стороны измерять или вычислять не потребовалось. Ошибка возникла бы, если взять за высоту длину одной из них вместо перпендикулярного расстояния.

Пример 2. Трапеция, повёрнутая набок

Задание 9

ФИПИ

Трапеция с вертикальными основаниями пять и две клетки, расстояние между ними три клетки — Исходный рисунок к заданию ФИПИ.

Параллельны левая и правая вертикальные стороны. Их длины — пять и два метра. Расстояние между ними, то есть высота трапеции, равно трём метрам:

S=\frac{5+2}{2}\cdot3=\frac{21}{2}=10{,}5.

Ответ: $10{,}5$ . Проверка: площадь охватывающего прямоугольника равна $5\cdot3=15$ . Над фигурой находится треугольник площадью $3\cdot1/2=1{,}5$ , под ней — треугольник площадью $3\cdot2/2=3$ . После вычитания получаем $15-1{,}5-3=10{,}5$ .

Дробный ответ здесь точный. Округлять его до одиннадцати нельзя: условие не просит приближённую площадь. Положение оснований вертикально не меняет формулу трапеции.

Пример 3. Кольцо и квадрат отношения радиусов

Задание 9

ФИПИ

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна $25$ . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Заштрихованное кольцо: внешний радиус четыре клетки, внутренний две клетки — Исходный рисунок к заданию ФИПИ.

От общего центра до внутренней окружности две клетки, до внешней — четыре. Внешний радиус вдвое больше внутреннего. Поэтому площадь внешнего круга больше в четыре раза:

\frac{S_{\text{внешнего}}}{S_{\text{внутреннего}}}=\left(\frac42\right)^2=4,\qquad S_{\text{внешнего}}=4\cdot25=100.

Заштрихован весь внешний круг, кроме внутреннего. Вычитаем незакрашенную часть:

S_{\text{кольца}}=100-25=75.

Ответ: $75$ . Проверка: внешний круг состоит из внутреннего площадью двадцать пять и кольца площадью семьдесят пять; вместе сто. Кольцо занимает три четверти площади большого круга, что соответствует рисунку.

Площадь одной клетки здесь не дана и не нужна: используется отношение радиусов. Число $\pi$ сокращается при сравнении площадей. Присваивать клетке площадь единица или искать её размер без необходимости не следует.

Пример 4. Оценка площади озера на карте

Задание 9

ФИПИ · проект демоверсии ЕГЭ 2027

На рисунке изображён план местности. Шаг сетки соответствует расстоянию $1\text{ км}$ на местности. Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

План местности с озером Великое и сеткой с шагом один километр — Исходный план ФИПИ, проект демоверсии 2027, страница 21.

Сторона клетки равна одному километру, значит, её площадь — один квадратный километр. Считаем только озеро с подписью «Великое оз.», не включая соседние серые участки карты.

Основная область озера находится в двух соседних горизонтальных полосах сетки. Мысленно объединяем занятые части клеток у левого и правого берегов с почти полными центральными частями. Вместе получается около трёх клеточных площадей. Считать каждую пересечённую берегом клетку целой нельзя: заметная часть таких клеток находится на суше.

S\approx3\cdot1=3\text{ км}^2.

Ответ: $3$ . Проверка: озеро занимает примерно половину охватывающей его области из трёх клеток по горизонтали и двух по вертикали. Это согласуется с оценкой около трёх квадратных километров. Здесь нужен округлённый результат, а не точная площадь по формуле прямоугольника.

При повторной проверке можно пройти контур полосами в другом направлении. Если получается существенно больше, проверьте, не включили ли вы соседний водоём, сушу или все клетки, которых берег лишь касается.

Типичные ошибки

Путают сторону клетки с её площадью. Линейный масштаб возводят в квадрат; уже данную площадь клетки — нет.
Считают линии вместо промежутков. Длина в клетках — количество промежутков между линиями, а не количество линий.
Берут наклонную сторону за высоту. Высота перпендикулярна основанию, иногда её основание лежит на продолжении стороны.
Не замечают вертикальные основания. Параллельные стороны трапеции могут быть расположены в любом направлении.
Все граничные кусочки считают половинками. Это верно только при соответствующем точном разрезе, например по диагонали квадрата.
Для кругов используют линейное отношение. Удвоение радиуса увеличивает площадь в четыре раза.
Находят весь круг вместо кольца. Проверьте, какая часть заштрихована, и вычтите внутренний круг.
Округляют точную дробную площадь. Округление допустимо по указанию условия, а не потому, что число получилось нецелым.
Включают фон карты в нужный объект. Найдите подпись и проследите границу именно озера или острова, который назван в вопросе.

Связь с другими заданиями

Задание 2 закрепляет единицы площади и оценку масштаба. Здесь эти навыки нужны, чтобы перевести клеточные площади в квадратные метры или километры.

Задание 4 учит подставлять данные в формулу, сохраняя скобки и степени. В задании 9 формулу обычно нужно выбрать по самой фигуре. В дальнейших геометрических задачах тот же выбор основания, высоты и способа разбиения остаётся полезным.

План подготовки на четыре недели

Первая неделя: размеры по сетке

Тренируйте подсчёт клеточных промежутков, оснований и высот. Начните с горизонтальных сторон, затем переходите к вертикальным. Для каждой фигуры называйте, почему выбранная высота перпендикулярна основанию.

Отдельно повторите масштаб площади. Чередуйте условия со стороной клетки и с уже заданной площадью клетки, чтобы не возводить одно и то же число в квадрат автоматически.

Вторая неделя: разбиение и вычитание

Решайте треугольники и трапеции двумя способами. Сначала используйте прямую формулу, затем охватывающий прямоугольник. Совпадение ответов покажет, правильно ли считаны размеры.

В составных фигурах следите, чтобы части не перекрывались и ничего не оставалось неучтённым. Не дробите рисунок на десятки мелких фрагментов, если доступны несколько крупных простых фигур.

Третья неделя: круги и приближённые площади

Отработайте квадрат отношения радиусов и вычитание внутренней части. В задачах по карте тренируйте объединение фрагментов клеток, обязательно отделяя нужный объект от соседних областей.

После каждой задачи объясняйте, точен ли ответ или получен оценкой. Прямой контур по узлам сетки и неровная береговая линия требуют разной точности.

Четвёртая неделя: смешанная практика

Решайте задачи без указания фигуры и измеряйте время от первого чтения до проверки. Ориентир проекта спецификации для задания 9 — шесть минут. Не убирайте проверку масштаба ради скорости.

Фиксируйте причины ошибок: «посчитал линии», «не та высота», «забыл внутренний круг», «округлил без требования». Через несколько дней повторите задачи и проверьте их другим способом.

Закрепите площади разных фигур

Чередуйте треугольники, трапеции, круги и оценку на карте. Начинайте каждое решение с масштаба клетки.

Решить задание 9

Частые вопросы

Частые вопросы о задании 9

По проекту спецификации ФИПИ 2027 за полностью верный ответ дают один первичный балл. Это задание базового уровня, без частичных баллов за отдельные действия.

Примерное время по проекту спецификации ФИПИ 2027 — шесть минут. Это ориентир для распределения работы, а не отдельный лимит.

В разобранных задачах размеры находят по клеткам и заданному масштабу. Измерение изображения на экране ненадёжно: его отображаемый размер меняется, а число клеток сохраняется.

Да. Основанием может быть любая сторона. При вертикальном основании соответствующая высота горизонтальна; её основание может находиться на продолжении стороны.

Сохраните точную дробную площадь, если округление не требуется. В бланк записывают конечную десятичную дробь с запятой. Нецелый результат сам по себе не является ошибкой.

Она изменяется пропорционально квадрату радиуса. Если радиус увеличился вдвое, площадь стала в четыре раза больше. Для кольца из площади внешнего круга вычитают площадь внутреннего.

Сложите целые части и оценённые доли граничных клеток, затем умножьте на площадь клетки. Не считайте все затронутые клетки целыми. Округлите результат только с точностью, указанной в вопросе.

По опубликованному проекту ФИПИ 2027 изменений структуры и содержания КИМ по базовой математике относительно 2026 года нет. На дату статьи документы являются проектами; актуальную редакцию проверяйте на сайте ФИПИ.

Источники и актуальность

Официальные параметры проверены по проектам демоверсии и спецификации ФИПИ 2027 по базовой математике. План озера взят из проекта демоверсии, страница 21; ответ проверен по ключам на странице 33. Остальные рисунки сохранены из исходных заданий ФИПИ в банке Repet.ai. Размеры считаны по сетке, точные площади пересчитаны независимо. Теория, рекомендации по проверке и план подготовки — учебная систематизация темы.

Актуальные редакции размещаются в разделе демоверсий ФИПИ. Статья актуальна на 5 сентября 2026 года.

Переходите к самостоятельному решению

Определите площадь клетки, выберите удобную геометрическую модель и проверьте результат вторым способом. Для оценки на карте сохраняйте нужную точность и следуйте вопросу.

Решать задание 9 Банк базовой математики Другие разборы